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第七章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间的定义及性质 线性空间举例 线性空间的基本性质： North University of China 目录 上页 下页 返回 结束 定义1 构成线性空间， 不构成线性空间． 集合 注意： 性质1 线性空间中的零向量及任一向量的负向量都是惟一的．定义　 子空间， 例4中的都是的非空子集， (2) 　；例2 集合 本章将向量空间的概念加以抽象、推广，引入一般线性空间的概念．介绍线性空间的基、维数、坐标以及线性空间上线性变换等最基本的概念．例6 例1 维向量空间证 显然有 且满足定义中八条运算规律， 证任取，及，显然有 且满足定义中八条运算规律， 例3 所有次数不超过的实系数多项式集合对于通常的加法及数乘运算构成一个线性空间． 例4 对于通常的向量加法及数乘运算，证 设和都是中的零向量，则根据运算规律第3) 设和都是某的负向量，则根据运算规律第 是线性空间．对矩阵的加法及数乘运算构成线性空间． 故是一个线性空间． 设为实数集，为非空元素集． 则称在集合的一的元素与之对应，元素之间定义了一种加法运算：对任意，中有惟记为． 中有惟一的元素与之对应，为上的线性空间，对任意， 称为与之和，记为． 在 与 的元素之间定义了一种数乘运算： 称为与的数乘， ，若这两种运算满足以下 中的元素称为向量． 简称线性空间．八条运算规律： （称为的负元素）；(5) ；设，(3) 在中存在元素，使对任意，都有(4) 对任意，都有某元素，使 (1) （交换律）；(2) （结合律）；（称为零元素）；(6) ； (7) ；八条运算规律， 八条运算规律， 故是一个线性空间． 集合 条， 可得 有 (2)、3)、4)条 设为线性空间，若? 则称为的线性子空间，为的一个非空子集．对于的两种运算也构成线性空间， 简称子空间． 但是的 设为线性空间，．因为的负向量是惟一的， 记为． 将其记为． 而不是的子空间． 八条运算规律， 八条运算规律， 性质2 设为线性空间．则对，有 (1) 由必可推出， 即加法消去律成立； 证 (1) (2) ； 因 ， 证 (2) 故由(1)得 ． (3) ； 证 (3) 因， 故由(1)得 ． 在等式两端同加上即得证． (4) ； 证 (4) 因 ， 据负向量的惟一性知． (5) 若，则或． 证 (5) 若 ， 而， 则． 对任意，规定为与的差， 本节完． (8) ．