第二章 随机变量及其分布.pptVIP

第二章 随机变量及其分布 学习目的要求 本章研究一维离散型和连续型随机变量及其分布。要求掌握离散型随机变量及其分布列的概念，掌握连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握随机变量函数分布的基本概念和计算方法。 主要教学内容 随机变量 离散型随机变量及其分布律 随机变量的分布函数 连续型随机变量及其概率密度 随机变量的函数的分布 §1 随机变量 定义 设随机试验的样本空间为S={e} ，X=X(e)是定义在样本空间上的实值单值函数，称X=X(e)为随机变量。 例如，用Y记某车间一天的缺勤人数，则Y是随机变量。 [注1] 一般用大写字母表示随机变量，小写字母表示实数； [注2]随机变量的引入，使我们能用随机变量来描述各种随机现象，可以用数学分析的方法对随机试验的结果进行研究。 §2 离散型随机变量及其分布律 若随机变量的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量。 离散型随机变量的分布律：设离散型随机变量X的所有可能的值为xk(k=1,2, …)，X取各个可能值的概率，即事件{X=xk}的概率 P(X=xk)=pk, k=1,2, … 称为离散型随机变量的分布律。分布律也可以用表格的形式来表示。 例１　设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯，每组信号灯以１／２的概率允许或禁止汽车通过，以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律． 解 以p表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，易知的分布律为： 或写成 P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3, p(X=4}=(1-p)4 以p=1/2代入得 三种重要的离散型随机变量1 （0-1）分布设随机变量X只可能取0与1两个值，它的分布律是：P{X=k}=pk(1-p) 1-k ,k=0,1 (0p1)则称X服从（0-1）分布或两点分布。 （0-1）分布的分布律也可写成 [注1] 对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含两个元素，即，我们可以在上定义一个服从（0-1）分布的随机变量 [注2] 应用：对新生婴儿的性别进行登记，检查产品的质量是否合格，车间的电力消耗是否超过负荷，抛硬币试验等都可以用（0-1）分布的随机变量来描述。 2 伯努利试验、二项分布 设试验E只有两个可能的结果:A, , 则称E为伯努利(Bernoulli)试验。设P(A)=p(0p1)，此时 将E独立地重复进行n次，称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。 n重伯努利试验是一种很重要的数学模型，它有广泛的应用：例如，E是抛一枚硬币观察得到正面或方面，A表示正面，这是一个伯努利试验，如将硬币抛n次， 就是n重伯努利试验。 以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X是一个随机变量，则在n次试验中A发生k次的概率为： 这里q=1-p，称随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为X~b(n,p). 特别，当n=1时的二项分布化为 P{X=k}=pkq1-k, k=o,1 这就是（0-1）分布。 例2 按规定，某种型号电子元件的使用寿命超过1500小时的成为一等品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现在从中随机地抽查20只，问20只元件中恰有k只（k=0，1，…，20）为一级品的概率是多少？ 解 所求的概率为： 将计算结果列表如下： 例3 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率。 解 将一次射击看成是一次试验。设击中的次数为X，则X~b(400,0.02)。X的分布律为: 于是所求的概率为 P{X≥2}=1-=P{X0}-P{X=1} =1-(0.98)400-400(0.02)(0.98)399 =0.9972 3 泊松分布 　　设随机变量X所有可能取的值为０，１，２，…，取各个值的概率为 其中　　是常数，则称X服从参数为　　的泊松分布． 应用：一本书一页中的印刷错误数、某地区在一天内邮件遗失的信件数、某一医院在一天内的急诊病人数、某一地区一个时间间隔内发生交通事故的次数. §1 　随机变量的分布函数　　设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)= P{X≤x }  称为X的分布函数． ［注１］对于任意实数x1,x2(x1x2)，有 P{x1X≤x2}=P{X ≤x2}- P{X ≤x1}