第二章02连续随机变量.pptVIP

* * 例1 赌场中有一种叫做幸运轮的赌具，在轮子上有均匀连续的刻度，范围为0~1,。当转动的轮子停止时，固定的指针会留在刻度上。这样，产生的实验结果是[0,1]之间的一个数，是指针所指向的位置的刻度。 因此样本空间为Ω=[0,1]。 如果随机变量X表示指针所指向的刻度，则X是一个连续型的随机变量，取值[0,1],且每一个x，事件{X=x}概率均为0。 一般的，连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间, 每一个取值对应的概率均为0. 因此，连续型随机变量不能象离散型随机变量那样,用分布列的方法，对它的每个值指定概率的方式,给出其概率分布. 为此，我们考虑一个包含x的一个邻域： 1、连续随机变量和概率密度函数 若对 考虑区间 (x,x+ε) 上的概率： 如果存在极限 则近似的有： 于是对于 取 称为随机变量X的“概率密度函数” 1导数的定义： 3定积分：分割、近似、求和、取极限 2不定积分： 为 的原函数 的所有原函数称为 的不定积分记为： 如果 则 4牛顿-莱布尼兹公式 对于随机变量X如果存在一个非负可积的函数 f(x),x∈R，使得对任一区间[a, b]都有 则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率分布密度函数，简称密度，简记为X~ f(x)， x∈R 2、概率密度函数的定义： 样本空间 a b x 对于单点集a，有： 所以： 所以概率密度函数的性质： 故密度函数f(x)也可以理解为：X落入x附近的单位长度的概率。 对于很小的δ，我们有： 由于f(x)是概率律，不是某一事件的概率，故f(x)可以大于1. 密度函数必须是非负的，且必须满足归一性条件： 连续型随机变量的概率密度未必是连续函数。 例 (连续的均匀随机变量)赌客在赌场转动幸运轮，幸运轮上具有连续的刻度，从0到1.每次轮子停止转动时，指针会指向轮子的一个数。假定指针指向幸运轮上任意两个长度相同的区间的概率相等，试将这样的的随机试验用一个随机变量X来刻画。 X的密度函数为： 应用归一化条件： 故c=1. 更一般的有： 取值于区间[a,b]上的随机变量，如果X取值于[a,b]的任意两个长度相同的子区间的概率是相同的，称这种随机变量为具有均匀分布的随机变量。 密度函数为： 1、均匀分布若随机变量X的密度函数为 则称X服从在[a，b]上的均匀分布 显然， 且 若 则 在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后第一位小数引起的误差服从[-0.5,0.5]上均匀分布；在[a,b]上随机的掷质点，X表示质点坐标，X服从[a,b]上均匀分布 P53例10 f(x) = 则称X为指数随机变量。其中λ是分布的参数，λ0 2、指数分布 若随机变量X的密度函数为 其中： λ较小 λ较大 λ λ 指数随机变量具有广泛的用处。例如：一台仪器的使用寿命，一辆汽车出一次车祸所用时间等等。指数随机变量与离散的几何随机变量十分相似。 无后效性 例（教材P54）已知连续型随机变量X有概率密度 求（1）常数A（2） 解（1） （2） 例（教材P55）已知连续型随机变量X有概率密度 且P(1X3)=0.25，求：常数a,b, P(X1.5) 解 附：定积分方法 1、直接用牛顿莱布尼兹公式 是常数); *