习题解答振动和波动–山东大学.docVIP

? ? ? ? [习题解答] 6-2 一个运动质点的位移与时间的关系为 ?m , x的单位是m，ts。试求： (1)周期、角频率、频率、振幅和初相位； (2)? t = 2 s时质点的位移、速度和加速度。 (1)将位移与时间的关系与简谐振动的一般形式 角频率 s?1, 频率 , 周期 , 振幅 , . (2)? t = 2 s时质点的位移 . t = 2 s ?. t = 2 s时质点的加速度 . 6-3 一个质量为2.5 kg10 n的拉力，其伸长量为5.0 cm，求物体的振动周期。 根据已知条件可以求得弹簧的劲度系数 ?, . 所以，物体的振动周期为 . 6-4 求图6-5m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 k2。 解 以平衡位置o6-5所示的坐标系。若物体向右移动了x 图6-5 . 牛顿第二定律，应有 , 改写为 . 所以 ?, ?. 图6-6 6-5 求图6-6m，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1 k2。 解 以平衡位置o6-6所示的坐标系。当物体由原点ox时，弹簧1伸长了x1 2伸长了x2 ，并有 ?. , 式中k是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得 ? ?, ?. 于是，物体所受的力可另写为 , 由上式可得 ? , 所以 ?. 装置的振动角频率为 ?, 装置的振动频率为 ? . 6-6 仿照式(6-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。 由教材中的例题6-3?与时间t ? = ? 0 cos (? t+?) , 单摆系统的机械能包括两部分, 一部分是小物体运动的动能 , . 单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即 , 因为 , 所以上式可以化为 ?. , 由此可以求得单摆系统中物体的速度为 ? . 这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。 6-7 与轻弹簧的一端相接的小球沿xa，位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在t = 0 (1)? x = ?a； (2)过平衡位置，向x (3)过x =x轴负方向运动； (4)过x =x轴正方向运动。 解 (1)将t = 0和x =?a代入 , , . (2)根据 以及 ，可以得到 , . ?. (3)由 和v 0可以得到 , . . (4)由 和v 0可以得到 ?, ?. ?. 6-8 长度为ll + s，并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上下运动。 (1)证明重物的运动是简谐振动； 图6-7 (2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率； (3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系()。 (1)以悬挂了重物后的平衡位置o6-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点o , .? (1) 当重物向下移动x时，弹簧的形变量为(s + x ) , 将式(1)代入上式，得 ?, . (2) 重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。 (2)令 , (3) (2)的解为 .? (4) t = 0 时，x0 = ?s，v0 = 0，于是 ?. (3)求得： ?, . (3)位移与时间的关系：由 , 以及当t = 0 时，x0 = ?sv0 = 0，根据式(4)，可以得到 , . . 故有 . 6-9 一个物体放在一块水平木板上，此板在水平方向上以频率?作简谐振动。若物体与木板之间的静摩擦系数为?0 解 设物体的质量为mo为坐标原点建立如图6-8 图6-8 ?的简谐振动。 振动系统的加速度为 , 可见，加速度a的大小正比与振幅a ?. 最大加速度amax对应于最大振幅amax，而与此最大加速度所对应的力应小于或等于重物与木板之间的最大静摩擦力，物体才能跟随木板一起振动。所以可以列出下面的方程式 , . 由以上两式可以解得使物体随木板一起振动的最大振幅，为 . 图6-9 6-10 一个物体放在一块水平木板上，此板在竖直方向上以频率?作简谐振动。试求物体和木板一起振动的最大振幅。 设物体的质量为mo为坐标原点建立如图6-9mg和向上的支撑力n ?. (1) 由简谐振动 , 可以求得加速度 . 当振动达到最高点时，木板的加速度的大小也达到最大值，为 ,(2) 负号表示加速度的方向向下。如果这时物体仍不脱离木板，物体就能够跟随木板一起上下振动。将式(2)代入式(1)，得 ?.? (3) , 取其最小值，并代入式(3)，得 , . 6-11 一个系统作简谐振动，周期为t 解 初相位为零的简谐振动可以表示为 . , . 因为 ?, 所以势能可以表示为 . 当 时，应有 , 即 , . 由上式解得 将 代入上式，得 或 6-12 质量为10 g24 cm，周期为1.0 st = 0时，位移为+24 cm，求： (1) (2)由起始位置运动到x = 12 cm处所需要的