代数表示论简介与综述.pdfVIP

维普资讯 Vo122J No．6 第22卷第 6期 数 学 进 展 ． 1993年 12月 ADVANCES IN MATHEMATICS DeC．．1993 代数表示论简介与综述 7(弓z 张英伯 肖 杰 n| 卜oJ - ● 。 _ 。 _ 。 ● - ● ～ ， - _ 。 ● _ _ - ’ 一 (靶京 蓓大学数学量 ·1O087S) 摘要 代数襄系琵基本世纪七十年代初兴起的代数学的一个新的分支．它的基本内容是研究 一 个Artin代 数上的模范畴．由于各国代数学家的共同努力，这一理论千最近=十年来有了异常 迅猛的发展井逐步趋千完善．本文介绍了代数表示论的理论基础 几乎可裂序列I箭 图和赋值箭 图的表示ICoxetar函子}AR一箭图的覆盖及代数的Galols覆盏．井简单介绍了在代数表示论中 普遍应用的工具lTilt理论，E卫及著名的Dpozg定理证啊过程中用刊的Bocs~论． 关键词 代数表示论’几乎可裂序列}赋值箭图’莨覆盖}Tilt理论，Bocs 早在二十世纪韧，Wedderburn的著名定理便完全刻画了有限维半单代数的结构，这种代 数同构于有限个狳环上的金矩阵代数的直和，其上 的模都是半单模．那么，非半单代数的结 构又如何呢?经典的结构理论是将一个代数划分为根和半单两部分，将代数看作它的根借助 半单部分的扩张．并由幂零根发展到谐零根、~acobson根等各种不同性质的根．一般来说， 半单部分能够给出较好的封面，但根的结构非常复杂．为此专门发展起了 “根论 。进行这 方面的研究． 一 1945年，美国数学家Brauer和Thrall提出了关于有限维代数的两个猜测．第一， “有界 表示型代数是有限的．”第=， 对于任意一个无限表示型代数，存在无限多个 自然数 ， 使得维数等于 d的模有无限多个。”这两个猜测成为代数表示论的起源．所谓一个代数是有 限表示型的，是措它仅有有限多个 (在同构意义下)不可分解模，反之，称为无限型的．众所 周知，一个代数的模与代数的表示，即代数到一个金矩阵代数的同态靛是一回事．如果我们 把这样的一个同态像看作是原来代数的一张照片，贝Ⅱ有限表示型代数是用有限张照片就可 揭示清楚的一种代数，当然比较简单．而无限型代数 Ⅱ需用无限多张照片才能表达．代数表 示论就是研究一个培定的Artin代 数是有限型还是无限型．若是有限型，确定其全体不可分 解摸}若是无限型，培出摸的分布情况．我们大家所熟悉的JoTdan标准型就可以看作是单变 元多项式环的商环的表示．事实上，令^是复数域C上的任意n× 矩阵，则C[^]是C上的 有限维向代数，C[^]上的模是一个复数域上的有限维向量空间 ，带有一个到自身的线性变 换^． o^．若^有若当块 o… 0、 ( l＼曼三．1．．：：：…0l，刚c[^]有不可分解模— — — — ～ _ ．，i≈l，…，≈，且dlmcV = O0O…．．．／k×k 收祷 日期#1991一O820 维普资讯 ， ^的 恩不 同特征值的最大若当块的阶数之和就是 C[]上的互不周构的不可分解模的个 数．如果说经典结构理论是直接刻两代数的构造，现代的代数表示论则是嗣嫫论的方法研究 一 个代数的结构． 在 Brauer—Thrall提 他们猜 测后 的 十多年中．试 图解决这两个猜测的工作一直投有 实质性的进展．直到l968年，苏联数学家．Rojter的文章 “无限表示型代数上不可分解嫫的 维数的无界性”，对域上有限维代数谜明了Brauer-Thrall第一猜测．这篇文章可称作代数表