三次函数专题(解析版).pdf

三次函数专题 一、定义： 定义1、形如y ax 3 bx 2 cx d (a  0) 的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义2、三次函数的导数y  3ax 2 2bx c (a  0) ，把 4b2 12ac 叫做三次函数导函数的判别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高 考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数y ax 3 bx 2 cx d (a  0) 图象与性质的探究： 1、单调性。 一般地，①当 2 时，三次函数 3 2 在 上是单调函数；  4b 12ac 0 y ax bx cx d (a  0) R ②当 2 时，三次函数 3 2 在 上有三个单调区间。  4b 12ac 0 y ax bx cx d (a  0) R  2 根据a  0,a  0 两种不同情况进行分类讨论，令f (x ) 3ax 2bx c 0 两根为x ,x 且x x ，则： 1 2 1 2 a 0 a 0 导 函 数  0  0  0  0 图 象 x1 x2 x x0 x x1 x2 x x0 x 2 、对称中心。 3 2 b b 三次函数f (x) ax bx cx d (a  0) 是关于点对称，且对称中心为点( ,f ( )) ，此点的横坐标 3a 3a 是其导函数极值点的横坐标。 证明：函数f (x) ax3 bx2 cx d (a  0) 关于点（m ，n ）对称的充要条件是f (m x) f (m x) 2n ， 3 2 3 2 即：[a(m x) b(m x) c(m x) d ]  [a(m x) b(m x) c(m x) d ] 2n ，整理得， (6ma 2b)x 2 (2am3 2bm2 2mc 2d) 2n ，据多项式恒等对应系数相等,可得， b 3 2 b m  且n am bm mc d = f (m) f ( ) ， 3a 3a