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2016届高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档62等差数列及其前n项和
中小学一对一课外辅导专家 PAGE - 24 - PAGE §6.2 等差数列及其前n项和 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起,每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母__d__表示. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式是an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果A=eq \f(a+b,2),那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. 5.等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=eq \f(n?a1+an?,2)或Sn=na1+eq \f(n?n-1?,2)d. 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn=eq \f(d,2)n2+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1-\f(d,2)))n. 数列{an}是等差数列?Sn=An2+Bn(A、B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中,a10,d0,则Sn存在最__大__值;若a10,d0,则Sn存在最__小__值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( √ ) (3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ ) (4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( × ) (5)数列{an}满足an+1-an=n,则数列{an}是等差数列.( × ) (6)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( √ ) 1.(2014·福建)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14 答案 C 解析 由题意知a1=2,由S3=3a1+eq \f(3×2,2)×d=12, 解得d=2, 所以a6=a1+5d=2+5×2=12,故选C. 2.设{an}为等差数列,公差d=-2,Sn为其前n项和,若S10=S11,则a1等于( ) A.18 B.20 C.22 D.24 答案 B 解析 因为S10=S11,所以a11=0. 又因为a11=a1+10d,所以a1=20. 3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列前11项和S11等于( ) A.58 B.88 C.143 D.176 答案 B 解析 S11=eq \f(11?a1+a11?,2)=eq \f(11?a4+a8?,2)=88. 4.(2013·课标全国Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________. 答案 -49 解析 由题意知a1+a10=0,a1+a15=eq \f(10,3). 两式相减得a15-a10=eq \f(10,3)=5d, ∴d=eq \f(2,3),a1=-3. ∴nSn=n·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(na1+\f(n?n-1?,2)d))=eq \f(n3-10n2,3)=f(n), 令f(x)=eq \f(x3-10x2,3),x0, f′(x)=eq \f(1,3)x(3x-20). 令f′(x)=0得x=0(舍)或x=eq \f(20,3). 当xeq \f(20,3)时,f(x)是单调递增的; 当0xeq \f(20,3)时,f(x)是单调递减的. 故当n=7时,f(n)取最小值,f(n)min=-49. ∴nSn的最小值为-49. 题型一 等差数列基本量的运算 例1 (1)在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an,则数列{an}
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