全国初中数学竞赛辅导(初1)第02讲绝对值.docVIP

第二讲 绝对值 　　绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题． 　　下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析． 　　一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即 　　绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值． 　　结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数． 　　1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ 　　(1)a+b｜=｜a｜+｜b｜； 　　(2)ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜； 　　(4)a｜=b，则a=b； 　　(5)a｜＜｜b｜，则a＜b； 　　(6)a＞b，则｜a｜＞｜b｜． 解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立． (2)对． 　　(3) 　　(4)a≥0时成立． 　　(5)b＞0时成立． 　　(6)a＋b＞0时成立． 　　2 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜． 　　1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0． 　　再根据绝对值的概念，得 ｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c． 　　于是有 原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c． 　　3 已知x＜-3，化简： 　　 　　=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0) 　　　　　 =3+｜3+x｜｜ 　　　　　 =3-(3+x)｜(因为3+x＜0) 　　　　　 =-x｜=-x． 　　 　　 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0． 　　(1)a，b，c均大于零时，原式=3； 　　(2)a，b，c均小于零时，原式=-3； 　　(3)a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1； 　　(4)a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1． 　　 　　a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用． 　　5 若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值． 　　x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3． 　　(1)y=2时，x+y=-1； 　　(2)y=-2时，x+y=-5． 　　x+y的值为-1或-5． 　　6 若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值． 　　 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是 　　 　｜a-b19=0且｜c-a｜99=1， ① 　　或 ｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ② 　　a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有 ｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1， 　　所以 ｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2． 　　 　　 ｜x-y+3｜＝｜x+y-1999｜． 　　x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即 　　x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得 2y=2002， y=1001， 　　所以 　　8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜． 　　3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们 为三个部分(如图1－2所示)，即 　　这样我们就可以分类讨论化简了． 　　 　　　原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x； 　　　=(3x+1)-(2x-1)=x+2； 　　　 =(3x+1)+(2x-1)=5x． 　　即 　　　　　　　　　 　　 　　9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值． 　　y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者． 　　-3，1，-1． 　　(1)x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1， 由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4． 　　(2)-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11， 由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6． 　　(3)-1≤x