10313平面向量的概念和几何运算(答案).docVIP

第13讲：平面向量的概念与向量的几何运算 一、基础概念： 1、向量的的概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫向量。要注意标量与向量的区别：标量只有大小，是个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向和大小的双重性，两个向量不能比较大小：但大小和方向是向量的两个要素，向量的大小称为向量的模。 （2）零向量：模为零的向量叫做零向量（始、终点重合），记作。 注意：的方向是任意的；与的区别。 （3）单位向量：长度等于1的向量叫做单位向量。 （4）相等的向量：长度相等且方向相同的两个量叫做相等的向量。若向量相等，记作：任意两相等的向量都可以用一有向线段表示，与起点无关。 （5）负向量：大小相同且方向相反的两个向量称它们互为负向量。 2、平行向量 两个方向相同或相反的向量，记作：。任意一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。 规定：与任意向量平行。 3．向量的表示方法 （1）始终点法（几何表示法）：如图向量； （2）单个字母表示法（代数表示法）：小写字母加上箭头，如 从向量的表示我们可以看到，可以由几何与代数两方面来刻划画向量，使数与形统一于向量之中，体现了数形结合的思想。 二、向量的加、减法运算 1、向量的加法 求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）。 向量加法的平行四边形法则； 向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和 对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况。 2、向量加法的性质 （1）向量加法的交换律：； （2）向量加法的结合律：； （3）。 3、向量的减法 向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）。 若则叫做的差，记作。 4、求作差向量 已知向量，求作向量。 作法：在平面内取一点，作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量。 三、实数与向量的乘积 1、实数与向量的积 定义：实数与非零向量的积是一个向量，记作。它的模与方向规定如下： （1） 实数与向量积的运算 结合律：； 分配律： 2、单位向量 定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 设是非零向量同方向的单位向量，则 3、向量平行的充要条件 与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数使得 推论：的充要条件是存在实数 四、应用举例： 例1、如图，正六边形的中心为O，则与相等的向量相等的向量是 ，的负向量是 是 。的平行向量是 。 答：与相等的向量是的负向量是 。 与平行的向量是等共有9个。 反思：掌握概念是关键 例2、化简。 解： 反思：三角形法则，“首尾相接”。 例3、已知为非零向量，试判断下列各命题的真假？ （1）是的充要条件； （2）与的方向相反，且的模是的模的倍。 （3）与互为负向量； （4）因为的方向与相同，且大小为的2倍，所以； 答：（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题；（4）假命题。 反思：平时对问题的表述要准确 例4、（1）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） （A） （B） （C） （D） 解：依照图形分析得答案为（C）。 （2）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（ ） A. B. C. D. 解：，选取（A） （3）是两个非零向量，分别是的单位向量，则下列命题正确的是（ ）。 解：（C） 反思：方法的选择要优化，如第（2）小题 例5、（1）已知 解：应用余弦定理 （2）在中，，M为BC 的组中点，则_______。（用表示） 反思：数形结合是重要的解题方法 例6．如图，分别是的中线，G为重心，且。 反思：培养目的性思维是必要的 例7、 已知，设为实数，如果 ， 那么为何值时，三点在同一条直线上。 反思：灵活处理共线与平行的关系 例8、（1） 已知不平行，三点共线。 反思：如果反过来研究，是否成立？ （2） 在中（如图），若 求证： 证明 因为 反思：此题结论与上题是一致的 例9、（2003年江苏高考题）是平面上一点， 是平面上不共线的三点，动点满足则的轨迹一定通过的（ ） （A）外心 （B）内心 （C）重心 （D）垂心 解：， 应选（B）。 反思：向量与平面几何中的结论是相互结合的 例10、如图,