11.习题课常数项级数审敛.pptVIP

* 1、常数项级数 收敛级数的基本性质 级数收敛的必要条件: 习题课 常数项级数审敛 一、主要内容 常数项级数审敛法 正 项 级 数 任意项级数 1. 2. 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 3.按基本性质; 一般项级数 4.绝对收敛 2、正项级数及其审敛法 (1) 比较审敛法 (2) 比较审敛法的极限形式 是同阶无穷小 特别 （等价无穷小） 3、交错级数及其审敛法 4、任意项级数及其审敛法 Leibniz定理 绝对收敛，条件收敛 附： 正项级数与任意项级数审敛程序 发散 N Y Y N N 改用它法 Y 收敛 收敛 发散 收敛 发散 N 发散 Y Y 收敛 N 用检比 法 用比较法 用L—准则或考察部分和 N N Y 条件收敛 例1 求极限 解 考察正项级数 由检比法 收敛 由级数收敛的必要条件得 二、典型例题 例2 设 试证 发散 证 不妨设 a 0 由极限保号性知 由于 故由比较法的极限形式得 发散 例3 若 都发散 则 A 必发散 B 必发散 C 必发散 D 以上说法都不对 例3 解 根据级数收敛的必要条件， 原级数发散． 解 从而有 原级数收敛； 原级数发散； 原级数也发散． 例4 解 即原级数非绝对收敛． 由莱布尼茨定理： 所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛． 都收敛 且 例5 设 试证 收敛 证 由 知 因 都收敛 故正项级数 收敛 再由比较审敛法知 正项级数 收敛 而 即 可表为两个收敛级数 之和 故 收敛 例6 设 且 若 收敛 则 也收敛 证 由题设知 而 收敛 由比较法得 收敛 Cauchy积分审敛法 设 单调减少 则 与 同敛散 例7 证 由 f(x) 单调减少知 即 故 与 同敛散 例8 设 是单调增加且有界的正数数列 试证明 收敛 证 记 则 且 而正项级数 的部分和 又 单调增加且有界 故由单调有界原理知 存在 即 收敛 进而 收敛 由比较法得 收敛 设正数数列 单调减少，级数 发散 考察 的敛散性 证 记 由 单调减少 故由单调有界原理知 存在 且 若 由Leibniz审敛法得 交错级数 收敛 与题设矛盾 由检根法知 收敛 例9 已知 证明 ⑴ ⑵ ⑶ 由 知 对 有 证⑴ 例10 而 收敛 故由比较法知 收敛 ⑵ 由 知 有 而 发散 故由比较法知 发散 ⑶ 如 但 *