11-对坐标的曲面积分.pptVIP

第五节 对坐标的曲面积分 1、有向曲面及曲面元素的投影 指定了侧的曲面叫有向曲面, 例2. 计算 例3. 设S 是球面 三、两类曲面积分的联系 例4. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为 例5. 设 例6. 计算曲面积分 内容小结 性质: 2. 常用计算公式及方法 当 思考与练习 P227 题3(3). 设 备用题 求 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 莫比乌斯带 任何流体都是可以压缩的，只不过可压缩的程度不同而已。液体的压缩性都很小，随着压强和温度的变化，液体的密度仅有微小的变化，在大多数情况下，可以忽略压缩性的影响，认为液体的密度是一个常数。如果任一截面上的流动状况(流速、压强、重度、成分等)都不随时间而改变，这种流动就称为稳定流动；反之，流动各量随着时间而改变，就称为不稳定流动。实际上流体(如气体，重油等)在管道内或窑炉系统中流动时，只要波动不太大，都可以视为稳定流动。 Higher- mathematics ( II ) * Chapter 11 ?一、对坐标的曲面积分的概念与性质 ?二、对坐标的曲面积分的计算法 ?三、两类曲面积分之间的联系 ? 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 (单侧曲面的典型) 一、 对坐标的曲面积分的概念与性质 曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面. 典型双侧曲面 莫比乌斯带 典型单侧曲面: 播放 其方向用法向量指向 方向余弦 0 为前侧 0 为后侧 封闭曲面 0 为右侧 0 为左侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 侧的规定 表示 : ? 设 ? 为有向曲面, 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 类似可规定 2. 引例 设稳定流动的不可压缩流体（密度为1）的速度场为 求单位时间流过有向曲面? 的流量? . 分析: (1) 若? 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: 2. 引例 设稳定流动的不可压缩流体（密度为1）的速度场为 求单位时间流过有向曲面? 的流量? . （1）分割 则该点流速为 法向量为 . （2）.求和 （3）.取极限 设? 为光滑的有向曲面, 在? 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, 分, 记作 P, Q, R 叫做被积函数; ? 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 若对? 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 3. 定义： 引例中, 流过有向曲面 ? 的流体的流量为 称为Q 在有向曲面? 上对 z, x 的曲面积分; 称为R 在有向曲面? 上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面? 上对 y, z 的曲面积分; 4、性质: 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 ? 上的连续函数, 则 证: ∵? 取上侧, 二、对坐标的曲面积分的计算法 ? 若 则有 ? 若 则有 (前正后负) (右正左负) 说明: 如果积分曲面 ? 取下侧, 则 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. 解 其中? 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解: 原式 ? 的顶部 取上侧 ? 的底部 取下侧 的外侧 , 计算 解: 利用轮换对称性, 有 曲面的方向用法向量的方向余弦刻画 令 向量形式 ( A 在 n 上的投影) 解: 。 求E 通过球面 ? : r = R 外侧的电通量 ? . 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 解: 其中? 解: 利用两类曲面积分的联系, 有 ∴ 原式 = 旋转抛物面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. ∴ 原式 = 原式 = 定义: 1. 两类曲面积分及其联系 联系: 思考: 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ? 两类曲面积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与? 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 二重积分 (1) 统一积分变量 代入曲面方程 (方程不同时分片积分) (2) 积分元素投影 第一类： 面积投影 第二类： 有向投影 (4) 确定积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面 注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况. 转化 时， （上侧取“+”, 下侧取“?”) 类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 . 1. P227 题2 提示: 设 则 ? 取上侧时, ? 取下侧时, 2. P2