02第二讲 导数及其应用(34=76).docVIP

第二讲 导数及其应用 问题2.1 导数、微分的概念 例题 1.选择C，理由如下： 函数在点处可导，即存在 ； 但是，极限存在函数在点处可导， 例如在点处，，但是函数在点处不可导. 2.选择B，理由如下：在可导存在 ，故A不对； . 3.【用特例法】选择D，理由如下：设 ， 但是，，在处极限不存在， 故排除A，B，C. 4.【涉及不等式条件的极限问题，通常用夹逼准则】选择C，理由如下： 当时，恒有，故 又， ，即 ，故是的可导点，且. 5.，，， ，，， ， 当时，，在处可导. 习题 1.【利用导数定义求增量比的极限】 在点可导，即存在， 故 . 2.【可导必连续】选择B，理由如下： 在处存在左、右导数在点左、右连续在点连续. 3. ， ，， 当时，，在处可导， 当时，，在处不可导. 4.选择C，理由如下： 在处连续但不可导，不存在， 存在，即存在， ， 故是在处可导的充分条件； 在处可导存在， 即 存在， 故是在处可导的必要条件. 5.选择B，理由如下： ， 在可导存在 （）和（）存在且相等 . 6. 由题设知存在，故，，且，故. 问题2.2 如何求曲线的切线、法线方程？ 例题 1.【求切线，关键是确定切点与斜率】 ， 切点为，斜率为， 故曲线在点处的切线方程为. 2.曲线的参数方程为， ， 将代入，得切点，切线的斜率， 所求切线方程为，即. 习题 1. ，，切点为，斜率，切点为， 故切线方程为. 2. ，，切点为，斜率， 故切线方程为. 3.方程两边对求导，，将代入上式，得，斜率， 故切线方程为，即. 4. ，；，. 由题设知，，，， 解得，切点为. 5. ，即， 所以曲线在点处切线斜率为. ，故， 所以曲线在点处切线斜率为. 问题2.3 求导公式与法则 问题2.4 如何求函数的导数（或者微分）？ 例题 1.【初等函数的导数，熟练掌握求导公式与求导法则】 ， ， ， 故. 2.【抽象函数的导数】 ， . 3.【隐函数的一、二阶导数，用两边求导法，注意是的函数】 方程两边对求导，得 ⑴ 将代入⑴，得； ⑴式两边对求导，得 ，⑵ 将代入⑵，得. . 4.【隐函数的一阶导数，用隐函数求导公式：由方程确定，则】 由确定， . 5.【参数式的导数，用参数式求导公式】 ，. 6.【反函数的导数，利用反函数求导公式和复合函数求导法则】 ， 上式两边对求导，； 上式两边再对求导，. 7.【参数式、隐函数的导数】 ，， 方程两边对求导，得， 故. 8.【抽象函数、隐函数的导数】 ， ， 方程两边对求导，得，⑴ 将代入⑴式，得， ⑴式两边对求导，得 ，⑵ 将代入⑵式，得， 故，. 9.【考查相关变化率】设长方形的对角线为，则， 上式两边对求导，得，即， 将代入上式，得. 习题 1. ，故. 2. ， ， 故. 3. . 4. ， 5.【考查导数】等式两边对求导，得 ， 再对求导，得， 由得，，， 故. 6.方程两边对求导，得， 令，得，即，解得. 7.【考查隐函数的导数】 方程两边对求导，得， 当时，，代入上式，得. 8.【求隐函数一阶导数，用公式法或者两边求导法】 ，. 9.【求隐函数二阶导数，用两边求导法】取对数，得，⑴ ⑴式两边对求导，得，整理得 ，解得， ，⑵ 将代入⑵，得. 10.【求参数式二阶导数，用公式法】 ，. 11. ， ， ，故 12. ， 上式两边对求导，，代入方程 ，得，即 13.【考查参数式求导和微分方程】 ， ， ， 令，则，代入上式，得 ，， ， 将代入，得，故，即， ， 将代入，得，故. 14.（略） 问题2.5 如何求分段函数的导数 例题 1. 时，， ， ， 故在连续. 2. 时，； ， 故在连续， 又在连续，所以在上连续. 3. ，， 要使在上可导，只要在可导. 在可导在连续，即， 在可导，即， 所以，当时，在上可导. 习题 1. 时，， ， 故 ， 故在连续，用在连续，所以在连续. 2. 要使在上可导，只要在上可导. 在上可导在上连续，即，即 ，即， 在上可导，即， ，， 故. 3. 存在，，在连续， 在连续，即， 在连续，即， ，即， 故. 4.【关键是分段点】令，得， 不存在， ， 不存在， 故有且仅有两个不可导点. 问题2.6 哪些情形要用定义求导？ 例题 1.（方法一） （方法二） 设，其中， ， 2.【函数方程通常利用求导化为微分方程，本题没有可导条件，只能用定义求导】 ， ， ，又， 故. ▲若条件改为“函数在内可导”，则可以方程两边对求导，得，令，得，解得. 习题 1. ， ，. 2.【只能用定义】 . 问题2.7 如何求函数的阶导数？ 例题 1.（方法一：归纳法）， ， ，故. （方法二：莱布尼茨公式）令，则， . 2.【用分解法】， ，令，得，令，