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构造直角三角形，提高学生思维水平 摘要：许多形式各异的几何图形，他们大都有着内在的联系，具有相同或相似的基本模型，在教学中，教师有意识地让学生学会提炼基本图形，并运用基本图形解决问题，使复杂问题简单化，这既有利于培养学生“透过现象看本质”的分析问题能力．又可以开拓学生的思维空间，提高学生解决问题的能力． 关键词：直角三角形；辅助线． 直角三角形是最常见的三角形。在历年的中考题中都有直角三角形的身影，最常见的不外乎三角函数的实际运用，也有直接的关于直角三角形的题目．而很多常见的图形证明与直角三角形有关，有些是明显的存在直角三角形，有些是隐藏的存在直角三角形。很多有难度的题目，便是将隐藏的直角三角形找出来解决问题的． 一、网格中的直角三角形 例1、在正方形网格中，AOB的位置如图所示，则tan AOB的值为 图例1 图例1 分析：①该题是求出三角函数，而对初中学生来说，求三角函数，只能在直角三角形中去找出对应的边；②在这个正方形网格中需要找到射线OA，OB所经过的格点，才能求出具体的值． 根据分析，不难找出图例1-2中的直角三角形，并求出tan ∠AOB= 中考试题中，画旋转，平移，对称图形的试题都放在网格中让考生进行作图，网格有清楚明了的特点，方便看出长度和特殊的角度。做表格类题目，只要抓住格点，就能解决具体问题。在网格中，可以根据需要画出直角三角形，使题目一目了然． 二、平行线中的直角三角形 例2、（2010年甘肃·兰州）如图，直角梯形中，，将腰以中心逆时针旋转90至，连接的面积为3，则BC的长为的面积为3．如图，已知直线∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则 ．分析：表面上不能直接找到两个三角形全等，但我们可以根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个全等的直角三角形，解决问题． 解：如图， 交于点F， 则． ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ． ∴ , 可得△△, ∵ 相邻平行线之间的距离是1， ∴ ∴ ． 例3变式．直线∥∥∥∥，相邻两条平行直线间的距离都相等，如果直角梯形ABCD的三个顶点在平行直线上，且AB=3AD，则= ． 分析：同上根据图形特征，添加适当的辅助线，构造出两个相似的直角三角形，解决问题． 解：如图例3变式-1，过点D作直线，交于点F，过点B直线，交于点E． 则． 可得△△, ∵ AB=3AD， 相邻平行线之间的距离是1， ∴ AE=3 ∴ 平行线实际是弱化了的网格，但也是更细化了的网格，方便构造直角三角形。在平行线中构造直角三角形是很多考题中的重要方法。有些试题的设置虽然省略了关键部分，模糊了基本图形的轮廓，但是学生只要抓住改基本图形特征的方法，通过添加辅助线，让直角三角形显现出来，问题就得以顺利解决． 三、基本模型下的直角三角形 基本模型：浙教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》七年级下册“1.5三角形全等的条件”课内练习： 已知：如图，AB⊥BD于点B ，EB⊥BD于点D, AC⊥EC于点C，点C在线段AB上，且AC=CE.求证:BD=AB+DE. 证明：根据“AB⊥BD，EB⊥BD， AC⊥EC, AC=CE”， 证得△ABC≌△CDE. 有AB=CD,BC=DE. 所以BD=BC+CD=AB+DE. 现将满足“∠B=∠ACE=∠D=90°,AC=CE”这一条件的两个三角形成为基本模型。其中将“∠B=∠ACE=∠D=90°”弱化成“∠B=∠ACE=∠D=α°”，或者将“AC=CE”删除，会出现一线三等角的模型． 近几年的中考试卷，命题者运用该基本模型及其衍生模型，编制出一批构思巧妙、立意新颖的好题.其中就有将隐藏的直角三角形用辅助线构造出来，体现出基本模型，再用基本模型解决的题目． 例4（2011年绍兴）、抛物线与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C． （1）如图1，求点A的坐标及线段OC的长； （2）点P在抛物线上，直线PQ∥BC交x轴于点Q，连结BQ． ① 若含45°角的直角三角板如图2所示放置，其中，一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上．求直线BQ的函数解析式； ② 若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上，另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标． 分析： ，考查的是全等三角形和二次函数的知识，如果能够找出隐藏的全等三角形，那么这道题目就能迎刃而解解：（1）把代入得 . ∴ 为对称轴，∴. （2）①如图2-1，过点D作DM⊥x轴，交x轴于点M,过点D作DN⊥PQ,交PQ于点