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习题课 习题课 一、重积分计算的基本方法 二、重积分计算的基本技巧 三、重积分的应用 一、重积分计算的基本方法 练习 2(3).计算二重积分 6.把积分 7(1).计算积分 7(3).计算三重积分 练习题. 二、重积分计算的基本技巧 P124 4. 9.在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一 例1.计算二重积分 (2) 积分域如图: 例2.计算二重积分 例3.计算二重积分 (2) 提示: 例4. 例5. 三、重积分的应用 例6. 例7. 例8.试计算椭球体 *解法2 * 前页 后页 返回 机动 * 返回 1.选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2.选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 图示法 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 3.掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 计算积分 其中D 由 所围成. P124 2 (3) ; 6; 7 (1), (3) 补充题: 解答提示: (接下页) 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 提示: 利用极坐标 原式 P124 化为三次积分, 其中?由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围成的闭区域 . P124 其中?是两个球 ( R 0 )的公共部分. 提示: 由于被积函数缺 x , y , 原式 = 利用“先二后一” 计算方便 . P124 其中?是由 xoy平面上曲线 所围成的闭区域 . 提示: 利用柱坐标 原式 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 P124 计算积分 其中D 由 所围成 . 提示:如图所示 连续, 所以 分块积分法 利用对称性 1. 交换积分顺序的方法 2. 利用对称性或重心公式简化计算 3. 消去被积函数绝对值符号 练习题 4. 利用重积分换元公式 P123 1 (总习题九) ; P124 4, 7(2), 9 解答提示: (接下页) 证明: 提示: 左端积分区域如图, 交换积分顺序即可证得. 7(2). 其中?是 所围成的闭区域 . 提示: 被积函数在对称域 ?上关于 z 为奇函数 , 利用 对称性可知原式为 0. 由球面 P124 个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片, 使整个 的另一边长度应为多少? 提示: 建立坐标系如图. 由对称性知 由此解得 问接上去的均匀矩形薄片 即有 薄片的重心恰好落在圆心上 , 其中: (1) D为圆域 (2) D由直线 解: (1) 利用对称性. 围成 . 将D 分为 添加辅助线 利用对称性 , 得 其中D 是由曲 所围成的平面域 . 解: 其形心坐标为: 面积为: 积分区域 线 形心坐标 在第一象限部分. 解: (1) 两部分, 则 其中D 为圆域 把与D 分成 作辅助线 两部分 说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. 作辅助线 将D 分成 如图所示 交换下列二次积分的顺序: 解: 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得 其中 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面 3. 其它方面 证明 证:左端 = 右端 设函数 f (x) 连续且恒大于零, 其中 (1) 讨论 F( t ) 在区间 ( 0, +∞) 内的单调性; (2) 证明 t 0 时, (03考研) 解: (1) 因为 两边对 t 求导, 得 (2) 问题转化为证 即证 故有 因此 t 0 时, 因 利用“先二后一”计算. 的体积 V. 解法1