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数值分析Numerical Analysis Royea 2012.7 第二章 数值积分 2.1 机械求积 2.2 Newton-Cotes公式 2.3 Gauss公式 2.4 复化求积法 2.5 Romberg算法 2.6 数值微分 2.1 机械求积 2.1.1 求积方法的历史变迁 2.1.2 机械求积的概念 2.1.3 求积公式的精度 2.1.4 一点注记 2.1.1 求积方法的历史变迁 2.1.2 机械求积的概念 2.1.2 机械求积的概念（续） 2.1.3 求积公式的精度 2.1.4 一点注记 2.2 Newton-Cotes公式 2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法 2.2.2 Newton-Cotes公式的精度分析 2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法 2.2.1 Newton-Cotes公式的设计方法(续) 2.2.2 Newton-Cotes公式的精度分析 2.3 Gauss公式 2.3.1 Gauss公式的设计方法 2.3.2 帯权的Gauss公式举例 2.3.1 Gauss公式的设计方法 2.3.1 Gauss公式的设计方法（续） 2.3.2 带权的Gauss公式举例 2.3.2 带权的Gauss公式举例（续） 2.4 复化求积法 2.4.1 复化求积公式 2.4.2 变步长梯形法 2.4.1 复化求积公式 2.4.2 变步长的梯形法 2.5 Romberg算法 2.5.1 梯形法的加速 2.5.2 Simpson法再加速 2.5.3 Cotes法的进一步加速 2.5.4 Romberg算法的计算流程 2.5.1 梯形法的加速 2.5.2 Simpson法的再加速 2.5.3 Cotes法的进一步加速 2.5.4 Romberg算法的计算流程 2.6 数值微分 2.6.1 数值求导的差商公式 2.6.2 数值求导公式的设计方法 2.6.1 数值求导的差商公式 2.6.2 数值求导公式的设计方法 小 结 * * 求积方法源于求曲边图形的面积。 公元前三世纪，古希腊数学家阿基米德就运用所谓穷竭法计算了一些曲边图形的面积。 其思想是利用曲边图形的内接与外接两个阶梯图形的面积来“穷竭”所给的曲边图形的面积。穷竭法将面积计算归结为提供曲线的高度，其设计思想淳朴自然，但这种方法要求建立某种求和公式，而设计这样的求和公式往往是困难的。 微积分的发明使面积计算方法焕然一新。按照微积分基本定理，只要提供被积函数的原函数，便有下列求积公式： 若可以很容易得到，则求积分的处理过程就大大简化。 事实上，我们不难发现，微积分方法法求积分也有其局限性：实际问题中碰到的被积函数往往没有初等函数表示的原函数，而实验测量中往往只是给出了一张数据表等等。显然这些情况下将无法运用微积分基本定理来求积。鉴于此，在数值求积过程中，人们又重新审视古人将积分计算归结为提供函数值的穷竭法，从而导致了所谓求积方法的提出。 依据积分中值定理，对于连续函数，在内存在一点，成立 就是说，底为而高为的矩形面积恰恰等于所求曲边梯形的面积。称为区间上的平均高度。 一般地，取内若干个节点处的高度，通过加权平均的方法生成平均高度，这类求积方法称机械求积： 式中称为求积节点，称为求积系数，亦称伴随节点的权。 不难看出，机械求积公式的构造本质上是个选取参数的代数问题。为要构造上述公式，需要提供一种判别求积方法精度高低的准则。 称形如2.1.2中机械求积公式具有阶（代数）精度，如果它对于一切次多项式是准确的，但对于多项式不准确；或者说它对于幂函数均能准确成立，即有 这样，机械求积公式的构造问题便归结为求解如下形式的代数方程组： 为简化处理手续，可引进变换 再记，则2.1.2中的机械求积公式可变为 式中节点为 这时2.1.3中的方程组就表现为较简单的形式。不失一般性，在设计求积公式时，可以着重考察区间为的特殊情形。 设将求积区间划分为等分，选取等分点 作为求积节点构造形如2.1.2中求积公式，若这种公式至少有阶精度，则称之为阶Newton-Cotes公式。特别的，梯形公式 是最简单的Newton-Cotes公式。下面再举例说明这种公式的构造。 例 试以的二等分点作为求积节点构造形如 的Newton-Cotes公式。 解 为简化处理，令，则上述公式具有形式 令它对于准确成立，据此列出代数方程即可解出 易知它对依然准确成立，可见这样构造的Newton-Cotes公式 实际上就是具有3阶精度的Simpson公式。 同理，我们还可构造如下具有5阶精度的Cotes公式： 设代表区间等分数，不难证明，当为偶数时Newto