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【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨教案 新人教A版选修4-1 一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线 课标解读 1.了解平行射影的含义，体会平行射影． 2.会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)． 3.会用Dandlin双球证明定理1、定理2. 1．正射影 给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影． 一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影． 2．平行射影 设直线l与平面α相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′ 为A沿l的方向在平面α上的平行射影． 一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影． 3．椭圆的定义 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆． 4．两个定理 定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆． 定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)，则 (1)βα，平面π与圆锥的交线为椭圆； (2)β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线； (3)βα，平面π与圆锥的交线为双曲线． 1．平行射影是指被投影面与投影面互相平行吗？ 【提示】　不是．是指投影光线与投影方向平行． 2．几何图形的正射影与原图相比有什么变化？ 【提示】　可能变，也可能不变．例如，一个圆所在平面β与平面α平行时，该圆在α上的正射影是与原来大小相同的圆；若β与α不平行时，圆在α上的正射影不再是圆，而是椭圆或线段(β与α垂直时)． 3．平行射影有哪些性质？ 【提示】　(1)直线的平行射影是直线或一个点，线段的平行射影是线段或一个点； (2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线或两个点； (3)平行于投射面的线段，它的平行射影与这条线段平行且等长； (4)与投射面平行的平面图形，它的平行射影与这个图形全等． 平行射影 图3－1－1 　如图3－1－1，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正射影可能是____________．(要求：把可能的图的序号都填上) 【思路探究】　找出四边形BFD1E的四个顶点在各个面上的正射影，然后连接各正射影即可． 【自主解答】　对四边形BFD1E在正方体的六个面上的正射影都要考虑到，并且对于图形要考虑所有点的正射影，又知线段由两端点唯一确定，故考察四边形BFD1E的射影，只需同时考察点B、F、D1、E在各个面上的正射影即可． 四边形BFD1E在平面ABB1A1，平面CDD1C1，平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均为(2)图，四边形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均为(3)图． 【答案】　(2)(3) 1．解答本题的关键是找出阴影部分的各个顶点在投影面上的正射影． 2．判断平行射影的形状时，常常先确定图形中各顶点的射影，再依次连接各顶点的射影即可；同一图形在平行平面上的平行射影是相同的． 如图3－1－2，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正射影为下列各图中的(　　) 图3－1－2 【解析】　求阴影部分在平面ADD1A1上的正射影，则投影光线与面ADD1A1垂直，显然点D的正射影为点D，点N的正射影为边AD的中点，点M的正射影为边A1A的中点．故选A. 【答案】　A 平面与圆柱面、圆锥面的截线性 质的应用 　如图3－1－3所示， 图3－1－3 AB、CD是圆锥面的正截面(垂直于轴的截面)上互相垂直的两条直径，过CD和母线VB的中点E作一截面．已知圆锥侧面展开图扇形的中心角为π，求截面与圆锥的轴线所夹的角的大小，并说明截线是什么曲线． 【思路探究】　求圆锥顶角 求VOE结论：抛物线 【自主解答】　设O的半径为R，母线VB＝l， 则圆锥侧面展开图的中心角为＝π， ＝，sin∠BVO＝. 圆锥的母线与轴的夹角α＝BVO＝. 如图，连接OE， O、E分别是AB、VB的中点， OE∥VA. ∴∠VOE＝AVO＝BVO＝， VEO＝，即VEOE. 又AB⊥CD，VOCD，CD⊥平面VAB， VE?平面VAB，VE⊥CD. 又OE∩CD＝O，OE平面CDE， CD平面CDE， VOE是截面与轴线的夹角， 截面与轴线夹角大小为. 由圆锥的半顶角与截面与轴线的夹角相等，知截面CDE与圆锥面的截线为一抛物线． 1．解答本题的关键是求出圆锥的母线与轴的夹角以及截面与轴的夹角． 2．判断平面与圆锥面的截