离散小波变换与框架〔6〕.pptVIP

2011-3-29 Wavelets analysis 离散小波变换与框架 离散小波变换 框架 框架算子 对偶框架 离散小波变换 许多应用中，特别是在信号处理中，数据用有限数目的值表示，所以重要的是考虑连续小波变换的离散情形。 固定两个正参数 。选取 其中m,n取遍Z,而 是固定的。记 的离散小波变换为 框 架 框架是Duffin与Schaeffer(1952)在非调和Fourier级数的研究中引入的。 框架与基底一样仍然是表示可分Hilbert空间元素的工具，不同的是框架中不要求元素的线性无关性。 定义 在Hilbert空间H中的一个序列 称为是一个框架，如果存在0A,B∞，使对于所有 ，有 并称数A,B是框架界。如A=B则称是紧框架。 函数用紧框架表示 在紧框架中，对于所有 ，有 (*) 用内积恒等式 推出 或至少在较弱的意义下 (#) 框架的例子 取 对于任一H 中的 ，有 由此得出， 是一个紧框架，由于 线性相关，所以不是一个基。注意，在这个例子 中，框架界给出了(在二维空间中三个向量的)”多 余比A”。 紧框架相关结论 如果 是Hilbert空间H的一个规范正交基。则 是H的一个紧框架,且A=B=2而 是H的一个紧框架,且框架界为1，但它不是一个正交基。 定理 如果 是一个紧框架，而框架界为1，并且如果 对于所有 成立，那么 构成H的一个正交基。 证明 因对所有j, 由(*)推出f=0,所以, {φj}张成H, 下面验正正交，取 ，有 因 ，这就推出 对所有 成立 框架算子 定义(框架算子) 是H中一个框架，那么框架算子F是由H到 的线性算子，Ff 的分量定义为 由框架定义得到 ，即框架算子是有界的。F的伴随算子 ，是这样计算的:由于 所以，至少在较弱的意义下 这时的伴随算子 也是有界线性算子。 框架算子(续) 由F 定义推出 借助于F，框架条件能够再写为 (A) 其中Id 是不变算子。 记 ，则T 是H→H的有界线性算子，特别是式(A)隐含T 是可逆的(若A=B,则B-1T＝Id, 故T 可逆)。由T 的定义，对任何 (**) 算子T 是H→H的框架算子。 框架中等价陈述 是H中一序列,下述陈述等价(0A,B∞) 框架算子T是H上有界线性算子,有 是具有框架界A,B的一个框架。 证明 如(1)成立，关系 等价于 由Id是恒等算子, 等。还有 这给出 假定(2)成立, 是具有框架界A,B的一个 框架,由前,框架条件能写为 框架算子的几个结论 定理 设 是Hilbert空间H的一个框架, 框架界为A,B,且T:H→H是相应的框架算子。那么 (1)T是可逆的,且 。 还是正算子 是T 的一个框架,框架界为 每个 能表示为 附注 记 ,称 是 的对 偶框架。容易验证， 对偶框架是 。还有 证明(1) T满足