高等数学函数的连续性.pptVIP

第十节 一、 函数连续性的定义 1.变量的增量? 2.函数连续性的定义 左连续与右连续 例3. 证明函数 二、 函数的间断点 例如: 间断点分类: 内容小结 思考与练习 思考题 间断点的类型. * 目录 上页 下页 返回 结束 二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 函数的连续性与间断点 第一章 设变量 从它的一个初值 变到终值 ? 终值与初 值的差 就叫做变量u的增量? 记作 即 注： 不表示某个变量 与u的乘积，而是一个 整体不可分割的记号. 设函数y = f (x)在点 的某一个邻域内是有定义的? 当自变量 在这邻域内从 变到 时?函数y相应 地从 变到 ? 因此函数 y 的对应增量为 其几何意义如右图所示： 定义: 在 的某一邻域内有定义 , 设函数 那么就称函数 在点 处连续? 如果 设 则 即 可见 , 函数 在点 定义: 在 的某一邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 前提条件 左连续 右连续 函数 在点 连续有下列等价命题: 如果 存在且等于 即 如果 存在且等于 即 左连续: 右连续: 例 1 解 右连续但不左连续 , 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例 2 解　因为 所以 f (x) 在 x = 0 处连续. 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区 间上连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 在闭区间 上的连续函数的集合记作 如果函数在开区间 内连续,并且在左端点 处右连续,在右端点 处左连续,则称函数 在闭区间 上连续. 简单地说，连续函数的图形能一笔画成。 在 内连续 . 证: 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 导致函数图象断开的原因？？？ o x y 1 2 1、 ２、 (1)在x=1处有定义 (3)函数 f (x)的极限不存在。 1 2 o x y 2.5 y x o 1 2 ３、 (1)在x=1处有定义； (2)函数在x=1处的左右极限相等，即函数在x=1处的极限存在，且等于2，但不等于f (1) 导致函数图象断开的原因： 1、函数在 处没有定义 2、函数在 时极限不存在 函数值不等 3、函数在 处的极限值和 o x y 1 2 1 2 o x y 2.5 y x o 1 2 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一, 函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为不连续点或间断点 . 在 无定义 ; 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡, 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 例4 讨论函数 的间断点. 因此 x = 0 是该函数的可去间断点. 解 即该函数在 x = 0 处的左、 但是由于 x y O 1 右极限存在， 因为，如果修改定义 f (0) = 1， 在 x = 0 连续. 则函数 x y O 1 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点: 跳跃间断点: 左右极限不相等 第二类间断点 无穷间断点: 振荡间断点: 函数值在 的去心邻域 (左右极限至少有一个不存在) 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 (左右极限都存在) 内变动无限多次 左右极限相等,但不等于 函数值或无定义 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 在 x = 0 连续. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 作业 P49 2(1)(2)(4); 3 ; 4(2) 第九节 求函数 的间断点，并指出间断点的类型。 解：由函数的表达式可知，间断点只能在无定义处。因为 所以 为间断点