高数同济§1.8函数的连续性与间断点.pptVIP

§1.8 函数的连续性与间断点 二、函数的间断点 小结 P59:2、4-（2）（4） 64：2-（1）、（3）、3 * * 复习一下函数极限的定义！！ 一、函数的连续性 增量 函数连续 二、函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点 上页 下页 结束 返回 首页 思考：如何描述这种现象？ 一、函数的连续性 曲线不断 曲线断开 函数f(x)随x的改变而逐渐改变; 突变现象 下页 数学语言：增量 1.增量的概念： 一、函数的连续性 曲线不断 曲线断开 注: ① 也记Δx=x1-x0,即自变量x从初值x0变到终值x1； ② 增量Δ x和Δ y可正可负; ③ 在第2章的导数部分将再次研究增量. 下页 2 函数的连续性定义 提示: 下页 设x=x0+Dx? 则当Dx?0时? x?x0? 因此 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? Dy=f(x0+Dx)-f(x0)? 如果 思考：如何用e-d 语言叙述函数的连续性定义？ ??e 0? ?d 0? 当|x-x0|d? 有|f(x)-f(x0)|e ? 提示： 下页 2 函数的连续性定义 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 如果 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? 例1 证 下页 左连续与右连续 结论 函数y=f(x)在点x0处连续 ? 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续? 下页 例2 解 左连续但不右连续 , 下页 函数y=f(x)在点x0处连续 ? 函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续? 注: 3 连续函数 在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续? 连续函数举例 （1） 多项式函数P(x)在区间(-?? +?)内是连续的? 这是因为? 函数P(x)在(-?? +?)内任意一点 x0处有定义? 并且 下页 如果区间包括端点? 那么函数在右端点连续是指左连续? 在左端点连续是指右连续? （2）正弦函数 y=sin x 在区间(-?? +?)内是连续的? 这是因为? 函数y=sin x在(-?? +?)内任意一点x处有定义? 并且 首页 在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续? 连续函数举例 3 连续函数 实际上,初等函数在定义区间上都是连续的，（见下节）. 设函数 f(x)在点x0的某去心邻域内有定义? 在此前提下? 如果函数 f(x)有下列三种情形之一? (1)在x0没有定义? 则函数 f(x)在点x0不连续? 而点x0称为函数 f(x)的不连续点或间断点? (2)虽然在x0有定义? 但 f(x)不存在? (3)虽然在x0有定义且 f(x)存在? 但 f(x)?f(x0)? 下页 1 间断点（不连续点）的定义 2 间断点举例 例1 下页 例2 当x?0时? 函数值在-1与+1之间变动无限多次? 所以点x=0是函数的间断点? 所以点x=0称为函数的振荡间断点? 下页 2 间断点举例 所以点x=1是函数的间断点? 如果补充定义? 令x=1时y=2? 则所给函数在x=1成为连续? 所以x=1称为该函数的可去间断点? 例3 下页 2 间断点举例 因函数f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象? 我们称x=0为函数f(x)的跳跃间断点? 例4 下页 2 间断点举例 通常把间断点分成两类? 设 x0是函数f(x)的间断点? 如果左极限f(x0-)及右极限f(x0+)都存在? 那么x0称为函数f(x)的第一类间断点? 不属于第一类间断点的间断点? 称为第二类间断点? 在第一类间断点中? 左、右极限相等者称为可去间断点? 不相等者称为跳跃间断点? 无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点? 3 间断点的类型 下页 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 第二类间断点 o y x o y x o y x 下页 o y x 振荡型 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类