四边形是平面几何图形中的一个重要内容.docVIP

四边形是平面几何图形中的一个重要内容。无论是长方形、正方形，还是平行四边形、梯形等，都是考察图形问题处理能力的很好题材。本讲将主要介绍平行四边形和梯形的一些问题，以供交流，从而提高自己图形处理的灵活性和技巧性。 一、高的关系是关键 在图形问题中，有些题目要从几个基本图形高的关系入手。 例1 如图所示，P为平行四边形ABCD外一点，已知三角形PAB的面积为10平方厘米，三角形PDC的面积为7平方厘米，求平行四边形ABCD的面积。 分析：题目中只知道三角形的面积，而平行四边形ABCD的底和高都不知道，初看好像很难求解。 我们先来看看图的特点，不难看出三角形PAB和三角形PDC都可以以AB或DC为底边，且AB和DC恰好是平行四边形ABCD的一组对边。 三角形PAB和三角形PDC分别以AB和 DC为底时的高与平行四边形ABCD以AB或 DC为底时的高似乎存在着某种关系，我们不妨把高画出来看一看。 很清楚，三角形PAB的高PF等于三角形PDC的高PE与平行四边形ABCD的高EF之和。而这三条高对应的底都是相等的。我们从图中虽然得到了很多重要关系，却仍然求不出平行四边形ABCD的面积。这时的就要利用代数的运算了。 解答：过P点做AB的垂线，分别交DC、AB于E、F。 平行四边形ABCD的面积 =AB×EF =AB×(PF-PE) =AB×PF- AB×PE =×AB×PF×2-×AB×PE×2 ? =(×AB×PF-×AB×PE)×2 ? =(三角形PAB的面积-三角形PDC的面积)×2 =（10-7）×2 =3×2 =6（平方厘米） 说明：本题改编自2000全国小学奥林匹克竞赛试题。解题关键是要观察发现平行四边形的高与两个三角形的高之间的关系。 二、对角线的作用大 平行四边形的一条对角线平分这个平行四边形面积，这个结论对于解决一些面积问题的作用相当大。 例2 如图，P为平行四边形内一点，过P分别作AB、BC的平行线交平行四边形于E、G、F、H四点，若四边形AEPH的面积为10，四边形PFCG的面积为16，求阴影三角形的面积。 分析：图中有很多平行四边形，其中平行四边形ABCD、EBFP、HPGD的对角线BD、PB、PD分别平分这三个平行四边形的面积，因此有三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积由图中各部分间的关系可知四边形PBCD的面积-阴影分面积等于三角形BCD的面积四边形ABPD的面积+阴影部分面积等于三角形ABD的面积于是，四边形PBCD的面积比四边形ABPD的面积多两个阴影部分面积。而这两个四边形都是由一个平行四边形和两个三角形组成。又因为三角形PEB的面积等于三角形PBF的面积三角形PDH的面积等于三角形PGD的面积所以四边形PBCD的面积比四边形ABPD的面积多两个阴影部分面积也就是四边形PFCG比四边形AEPH多的那部分面积。 解答：阴影部分面积×2 =四边形PBCD的面积-四边形ABPD的面积 ? ? =（三角形PBF的面积+三角形PGD的面积+四边形PFCG的面积）-（三角形PEB的面积+三角形PDH的面积+四边形AEPH的面积） 因为 三角形PEB的面积等于三角形PBF的面积 三角形PDH的面积等于三角形PGD的面积 所以 阴影部分面积×2=四边形PFCG的面积-四边形AEPH的面积=16-10=6 阴影部分面积= 3 说明：本题看似繁琐，实际只要借助对角线平分的知识启迪思考，就可以轻松解决。 三、图形一半成桥梁 对于平行四边形的一半我们可以想如下内容： 情况1： 平行四边形一条边上所在直线上的任意一点与对边两个端点所构成的三角形面积是这个平行四边形面积的一半； 例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，三角形CNF的面积为4，三角形AEG的面积为10，四边形MEBF的面积为16，求阴影部分的面积。 分析：由情况1可知，三角形AFD,三角形DEC的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，进一步可知三角形ABF与三角形DFC的面积和也是平行四边形ABCD面积的一半。而阴影就是三角形AFD中的一部分，因此想到 S三角形GEM+S阴影+ S三角形DNC=×S平行四边形ABCD ? ? (S三角形AEG+ S三角形GEM +S四边形MEBF) + (S三角形CNF+ S三角形DNC) =×S平行四边形ABCD从这两个关系式不难求出阴影部分的面积。 解答：因为 S三角形AFD=×S平行四边形ABCD 所以 S三角形ABF+ S三角形DFC=×S平行四边形ABCD ? 即 (S三角形AEG+ S三角形GEM +S四边形MEBF) + (S三角形CNF+ S三角形DNC) =×S平行四边形ABCD ? 又因为S三角形DEC=×S平行四边形ABCD ? 即 S三角形GEM+S阴影+ S三角形DNC=×S平行四边形ABCD