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直角三角形 要点一：勾股定理及其逆定理 选择题 1．（2009·达州中考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ） A．13 B．26 C．47 D．94 【解析】 选C ∵正方形A和正方形B的边长分别为3、5，所以与正方形E相邻的直角三形的一直角边的平方为34，又因为正方形C和正方形D的边分别为2、3，所以正方形E相邻的直角三角形的另一条直角边的平方为13，所以正方形E的面积为47. 2、（2009·滨州中考）如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8， 则边BC的长为（ ） A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对 答案：选A 填空题 3、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 ．(写出一组即可) 【解析】只要是勾股数即可。 4、(2009·湖州中考)如图，已知在中，，，分别以， 为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于 ． 【解析】因为,而=,=,所以+=+== 5.（2009·长沙中考）如图，等腰中，，是底边上的高，若，则 cm． 【解析】由，是底边上的高得BD=CD=3cm,由勾股定理得 答案：4 6.（2009·安顺中考）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。 【解析】如图， ∴风车的外围周长=4×(13+6)=76 答案：76 7、（2009·宜宾中考）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为 ． 答案：． 8、（2008·台州中考）如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则 （用含有的代数式表示）． 答案： 9、（2007·徐州中考）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=_______cm． 答案： 解答题 10、（2009·张家界中考）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长． 【解析】， 设，则， ， 11、（2009·白银中考）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证： （1）；（2）． 证明:（1） ∵ ， ∴ ． 即 ． ∵ ， ∴ △ACE≌△BCD． （2）∵ 是等腰直角三角形， ∴ ． ∵ △ACE≌△BCD， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 由（1）知AE＝DB， ∴ ． 12、（2009·新疆中考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形． （1）画出拼成的这个图形的示意图． （2）证明勾股定理． 【解析】方法一解：（1）如图 （2）证明：大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 方法二解：（1）如图 （2）证明：大正方形的面积表示为：，又可以表示为：,，，．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 13、（2007·聊城中考）（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式； （2）如图2，，，且三点共线． 试证明； （3）伽菲尔德（，1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程． 【解析】（1）这个公式为． （2），． ． 由于共线， 所以． （3）梯形的面积为 ； 另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成 ． 所以，． 即． 要点二、勾股定理的应用 一、选择题 1．（2010·眉山中考）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A．90° B．60° C．45° D．30° 【解析】：选C.根据勾股定理可知AC2==5, BC2==5, AB2==10,∴AC=BC AC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2 ∴⊿ABC是等腰直角三角形且∠ACB＝90o， ∴∠ABC=∠BAC=45o 2、（2009·衡阳中考）如图所示，A、B、C分别表