厦门大学《应用多元统计分析》第03章多元正态分布均值向量及协差阵的检验.pptVIP

第一节 引言 在单一变量的统计分析中，已经给出了正态总体N（ ?， ?2） 的均值?和方差?2的各种检验。对于多变量的正态总体Np（ ?， ∑ ） ，各种实际问题同样要求对?和∑进行统计推断。 例如，我们要考察全国各省、自治区和直辖市的社会经济发展状况，与全国平均水平相比较有无显著性差异等，就涉及到多元正态总体均值向量的检验问题等。 本章类似单一变量统计分析中的各种均值和方差的检验，相应地给出多元统计分析中的各种均值向量和协差阵的检验。 其基本思想和步骤均可归纳为： 第一，提出待检验的假设H0和H1； 第二，给出检验的统计量及其服从的分布； 第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界 值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定 域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。 在检验的过程中，关键在于对不同的检验给出不同的统计量，而有关统计量的给出大多用似然比方法得到。由于多变量问题的复杂性，本章只侧重于解释选取统计量的合理性，而不给出推导过程，最后给出几个实例。 为了更好的说明检验过程中统计量的分布，本章还要介绍HotellingT2分布和Wilks分布的定义。 第二节 均值向量的检验 一、单一变量检验的回顾及Hotelling T2分布 为了对多元正态总体均值向量作检验，首先需要给出HotellingT2分布的定义。 二、一个正态总体 均值向量的检验 三、两个正态总体均值向量的检验 四、多个正态总体均值向量的检验 第三节 协差阵的检验 一、一个正态总体协差阵的检验 二、多个协差阵相等检验 本章结束 一 一个正态总体协差阵的检验 二 多个协差阵相等检验 第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验 第一节 引言 第二节 均值向量的检验 第三节 协差阵的检验 一 单一变量检验的回顾及HotellingT2分布 二 一个正态总体均值向量的检验 三 两个正态总体均值向量的检验 四 多个正态总体均值向量的检验 在单一变量的检验问题中，设来自总体的样本，我们要检验假设 当已知时，用统计量 （3.1） 其中，为样本均值。当假设成立时，统计量服从正态分布，从而否定域为，为的上分位点。 当未知时，用 （3.2） 作为的估计量，用统计量： （3.3） 来做检验。当假设成立时，统计量服从自由度为的分布，从而否定域为，为自由度为的分布上的分位点。 这里我们应该注意到，（3.3）式可以表示为 （3.4） 对于多元变量而言，可以将分布推广为下面将要介绍的Hotelling分布。 定义3.1 设，且与相互独立，，则称统计量的分布为非中心HotellingT2分布，记为。当时，称服从（中心）Hotelling分布。记为。 由于这一统计量的分布首先由Harold Hotelling 提出来的，故称为Hotelling分布，值得指出的是，我国著名统计学家许宝禄先生在1938年用不同方法也导出分布的密度函数，因表达式很复杂，故略去。 在单一变量统计分析中，若统计量分布，则分布，即把分布的统计量转化为统计量来处理，在多元统计分析中统计量也具有类似的性质。 定理3.1 若，且与相互独立，令，则 （3.5） 在我们后面所介绍的检验问题中，经常会用到这一性质。 设是来自维正态总体的样本，且，。 协差阵已知时均值向量的检验 （为已知向量） 假设成立，检验统计量为 （3.6） 给定检验水平，查分布表使，可确定出临界值，再用样本值计算出，若，则否定，否则接受。 这里要对统计量的选取做一些解释，为什么该统计量服从分布。根据二次型分布定理知道，若，则。显然， 其中，，因此， 。 （二）协差阵未知时均值向量的检验 （为已知向量） 假设成立，检验统计量为 （3.7） 其中， 给定检验水平，查分布表，使，可确定出临界值，再用样本值计算出，若，则否定，否则接受。