浮点数的表示及基本运算.docVIP

浮点数的表示和基本运算 1 浮点数的表示通常，我们可以用下面的格式来表示浮点数 S P M 其中S是符号位，P是阶码，M是尾数对于IBM-PC而言，单精度浮点数是32位（即4字节）的，双精度浮点数是64位（即8字节）的。两者的S，P，M所占的位数以及表示方法由下表可知 S P M 表示公式 偏移量 1 8 23 (-1)S*2(P-127)*1.M 127 1 11 52 (-1)S*2(P-1023)*1.M 1023 以单精度浮点数为例，可以得到其二进制的表示格式如下 S(第31位) P(30位到23位) M(22位到0位) 其中S是符号位，只有0和1，分别表示正负；P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一样。对于正数而言，原码，反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1.）为了简单起见，本文都只讨论单精度浮点数，双精度浮点数也是用一样的方式存储和表示的。2 浮点数的表示约定单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE754标准定义的，其中有一些特殊约定。（1） 当P = 0, M = 0时，表示0。（2） 当P = 255, M = 0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。（3） 当P = 255, M != 0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。当我们使用.Net Framework的时候，我们通常会用到下面三个常量 Console.WriteLine(float.MaxValue); // 3.402823E+38 Console.WriteLine(float.MinValue); //-3.402823E+38 Console.WriteLine(float.Epsilon); // 1.401298E-45 //如果我们把它们转换成双精度类型，它们的值如下 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MaxValue)); // 3.40282346638529E+38 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.MinValue)); //-3.40282346638529E+38 Console.WriteLine(Convert.ToDouble(float.Epsilon)); // 1.40129846432482E-45 那么这些值是如何求出来的呢？根据上面的约定，我们可以知道阶码P的最大值这个值是254，因为255用于特殊的约定，那么对于可以精确表示的数来说，254就是最大的阶码了）。尾数的最大值是11111111111111111111111。那么这个最大值就是：011111111111111111111111。也就是 2(254-127)* (1.11111111111111111111111)2= 2127* (1+1-2-23) = 3.40282346638529E+38从上面的双精度表示可以看出，两者是一致的。最小的数自然就是-3.40282346638529E+38。对于最接近于0的数，根据IEEE754的约定，为了扩大对0值附近数据的表示能力，取阶码P = -126，尾数 M = (0.00000000000000000000001)2 。此时该数的二进制表示为：000000000000000000000001也就是2-126* 2-23= 2-149 = 1.40129846432482E-45。这个数字和上面的Epsilon是一致的。如果我们要精确表示最接近于0的数字，它应该是 000000000000000000000000也就是：2-126* (1+0) = 1.17549435082229E-38。 3 浮点数的精度问题浮点数以有限的32bit长度来反映无限的实数集合，因此大多数情况下都是一个近似值。同时，对于浮点数的运算还同时伴有误差扩散现象。特定精度下看似相等的两个浮点数可能并不相等，因为它们的最小有效位数不同。由于浮点数可能无法精确近似于十进制数，如果使用十进制数，则使用浮点数的数学或比较运算可能不会产生相同的结果。如果涉及浮点数，值可能不往返。值的往返是指，某个运算将原始浮点数转换为另一种格式，而反向运算又将转换后的格式转换回浮点数，且最终浮点数与原始浮点数相等。由于一个或多个最低有效位可能在转换中丢失或更改，往返可能会失败。 4 将浮点数表示为二进制4.1 无小数的浮点数转换成二进制表示首先，我们用