5.1 第一类曲线积分.pptVIP

曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 假设曲线形细长构件在空间所占 2.定义 二、对弧长的曲线积分的计算法 四、几何与物理意义 五、小结 * 5.1第一类曲线积分 教学目的与要求： 1. 理解Ⅰ型（对弧长的）曲线积分的概念和性质； 2.掌握计算Ⅰ型曲线积分的方法。 知识点：Ⅰ型曲线积分的概念、性质、计算及应用； 重点：Ⅰ型曲线曲面积分的计算 难点：Ⅰ型曲线积分的概念 教学方式：启发对比式教学，多媒体辅助 教学思路：有定积分和重积分为基础，指出重积分及定积分的本质区别是积分区域不同，从而将积分区域再次变更，就自然地引入了Ⅰ型曲线积分；为了得出精确定义以实例为背景，再逐一介绍性质、计算方法及应用，并以对比的方式进行。 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分 弧段为AB , 其线密度为 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 可得 为计算此构件的质量, 1.引例: 曲线形构件的质量 采用 设 ? 是空间中一条有限长的光滑曲线, 义在 ?上的一个有界函数, 都存在, ?上对弧长的曲线积分, 记作 若通过对 ? 的任意分割 局部的任意取点, 下列“乘积和式极限” 则称此极限为函数 在曲线 或第一类曲线积分. 称为被积函数， ? 称为积分弧段 . 曲线形构件的质量 和对 如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 如果 L 是闭曲线 , 则记为 则定义对弧长的曲线积 分为 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds ? 0 , 但定积分中 dx 可能为负. 3.存在条件： 注意：第一类曲线积分在平面曲线和空间曲线两种形式下的表示： 4. 性质 （k 为常数) ( ? 由 组成) ( l 为曲线弧 ? 的长度) 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 且 上的连续函数, 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 点 设各分点对应参数为 对应参数为 则 说明: 因此积分限必须满足 (2) 注意到 因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此 概括为“一代、二换、三定限” 如果曲线 L 的方程为 则有 如果曲线方程为极坐标形式: 则 一代、二换、三定限 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 一代、二换、三定限 例1 解 例2 解 例3 解 例4 解 例5 求 ? 是曲线 化为参数式方程 则 解 例6 求　　　　　　　　　，其中　　　　　　，从(1,2)到(1,-2)一段. 习题2（9）轮换对称性 解 由对称性, 知 例2. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度? = 1). 解: 建立坐标系如图, 则 1、对弧长曲线积分的概念 2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用 * * 2．利用对称性简化计算 利用对称性可以简化I型曲线积分的计算，在运用时必须注意被积函数与积分区域两个方面的对称性要相互匹配。 I型曲线积分的对称性归纳如下几种情形： （1）当L对称于x轴时， （2）当L对称于y轴时， 方法1. 选取. . 方法2. 由于L关于x轴对称，被积函数是关于y的奇函数. .