【步步高】2017版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 直接证明与间接证明 理要点.docVIP

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明、算法、复数 13.2 直接证明与间接证明 理 1．直接证明 (1)综合法 ①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法常称为综合法． ②框图表示：…?…? ③思维过程：由因导果． (2)分析法 ①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法． ②框图表示：…?…? ③思维过程：执果索因． 2．间接证明 (1)反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． (2)反证法的步骤： ①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； ②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； ③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　×　) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　×　) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．(　×　) (4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　×　) (5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　√　) (6)证明不等式＋＋最合适的方法是分析法．(　√　) 1．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为_________． 答案　cn＋1cn 解析　由条件得cn＝an－bn＝－n＝， 则cn随n的增大而减小，∴cn＋1cn. 2．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是________． ①假设a，b，c都是偶数； ②假设a，b，c都不是偶数； ③假设a，b，c至多有一个偶数； ④假设a，b，c至多有两个偶数． 答案　② 解析　“至少有一个”的否定为“都不是”，故②正确． 3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0只要证明________(填正确的序号)． ①2ab－1－a2b2≤0； ②a2＋b2－1－≤0； ③－1－a2b2≤0； ④(a2－1)(b2－1)≥0. 答案　④ 解析　a2＋b2－1－a2b2≤0(a2－1)(b2－1)≥0. 4．如果a＋ba＋b，则a、b应满足的条件是__________________． 答案　a≥0，b≥0且a≠b 解析　∵a＋b－(a＋b) ＝(a－b)＋(b－a) ＝(－)(a－b) ＝(－)2(＋)． ∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)0. ∴a＋ba＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b. 5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________三角形． 答案　等边 解析　由题意2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c， ∴A＝C，∴A＝B＝C＝， ∴△ABC为等边三角形. 题型一　综合法的应用 例1　对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足： ①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0； ②f(1)＝1； ③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数． (1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0； (2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2(x∈[0,1])，f(x)＝(x∈[0,1])是不是理想函数． (1)证明　取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1， ∴f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0. 又对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0， ∴f(0)≥0.于是f(0)＝0. (2)解　对于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不满足新定义中的条件②， ∴f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数． 对于f(x)＝x2，x∈[0,1]，显然f(x)≥0，且f(1)＝1. 任意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1， f(x1＋x2)－f(x1)－f(x2) ＝(x1＋x2)2－x－x＝2x1x2≥0， 即f(x1)＋f(x2)≤f(