高中数学论文集：应用三次函数的图象和性质解题.docVIP

应用三次函数的图像和性质解题 浙江省余姚第五中学 徐建波 函数是贯穿中学数学中的一条主线，每年高考对函数的考查所占比例都相当大。现行高中数学教材增加了导数内容后，各地高考及其模拟试题中，频频出现了以三次函数为背景，考查导数在三次函数的单调性、极值与最值问题中的应用。下面就对一元三次函数的图象与性质进行研究，并解决这类问题。 一元三次函数的图像可分为两类：（一）在整个定义域内是单调的无极值的，其形状与类似；（二）在整个定义域内有3个单调区间（两增一减或两减一增）必有一个极大值和一个极小值。具体分析如下： 设方程的判别式为，时方程的两个实数根记为 当函数的单调增区间为；单调减区间为，在处取极大值；在处取极小值。大致图像如下面几种情形： （2）当，函数在上单调递增，无极值。图象与相类似， ，当即时，，图象都有一个对称中心，其中 （3）当时，函数单调减区间为，单调增区间为，在处极小值，在处取极大值。图为： (4)当时，函数在上单调递减，无极值，图象与相类似，同理也有一个对称中心，其中。 例题选讲 [例1]已知 其中，试判断a，b，s，t的大小 解：由可知它的图象与x轴有3个交点且的系数大于0，又由且，根据结论，可知的简图为 由图可知： [例2]方程的实根的个数（ ） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 解析：，，令又的系数大于0 　　　　　　　　 1 3 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 由结论可知，函数的图象是先增后减的，且在取得极大值为，在处取得极小值为 所以，方程实数根的个数只有一个，其中所以实根范围为。 [例3]已知实数满足，则 解析：，则， 方程，，的系数大于0，由结论可知函数在R上都是增函数，而由结论可知（1，3）是函数图象的对称中心。 为图象上两点，，即 [例4]已知函数若函数的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于2，求a的取值范围 解：，方程 （i）时，函数简图如图： 其中（0，b）是图象的对称中心，满足题意 （ii）时，函数的简图如图： 恒成立，即恒成立，， ，综合（i）（ii），a的取值范围为。 [例5]直线与函数的图象有相异的三个交点，求a的取值范围 解：是一条平行于x轴（a=0时x轴重合）的直线，所以只需研究的图象变化即可，因为，由的方程的两根为-1，1，的系数大于0，由结论可以知，在上递增，在[-1，1]上递减，在上递增。，，简图如下： 因为要使与函数的图象有相异的三个交点，必须有 也容易看出：若无交点，； 若有一个交点或；若有两个交点或。 [例6]若函数在区间（1，4）内为减函数，在区间内为增函数，试求：实数a的取值范围 解：方程的两个根为，若a=2时，在整个定义域的单调增，所以不符合题意，故，又的系数大于0，函数图象应有3个单调区间且先增后减再增，由已知在（1，4）内减函数，在区间内为增函数，可知在x=1时取极大值，在x=a-1处取极小值。从而得到的简图 由图可知：，，所以a的取值范围为[5，7]。 [例7]已知，在上是增函数，在上是减函数，且的一根是，（1）求c的值（2）求证：还有不同于的实数根，且成等差数列（3）若方程恰有一解，求的取值范围 解：（1），由题意，函数在0处取到极大值，即c＝0 方程的一个根为，故， ，方程的判别式为，且不是此方程的根，所以还有两个根，且，故成等差数列。 （3）的解集为，的解集为，由题意，即， ， ，故 又方程只有一根，函数的简图如图： 由图可知 或者。 记，在时，，所以在时为减函数，故，。 x s 2 -2 -1 x x X y y x X y x1 x2 x2 x1 x1 x2 t a b x y 1 3 y x －2b o X a-1 y o x y －2b o x X x X x X x X y X y X y X x X x X x X y X y X y X x X x X x X y X y X y X x x X y X y X x X o X o X y 1 x y y o X o X o X o X o X o X o X o X o X o X o X o o o o O 1 x