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学科： 数学 论文编号： （（县区号） 4 学科号 2 顺序号 ） 成果形式（论文或案例）： 论文 题目：不可微函数单调性判别法及其应用 姓名： 欧 振 参 单位： 陆丰市第二职业技术学校 注：1、“学科”，指所写的论文是属于何学科（如语文、生物、德育等）。 2、“单位”要完整写出所在县（市、区）和学校全称，例“市城区汕尾中学” 摘要：利用Dini导数和对称导数给出不可微函数单调性的判别方法，并应用到函数极值存在性和函数凹凸性的判定。 关键词：不可微函数 ； 单调性 ； 判别法 ； 应用 Abstract: In this paper,two methods to determine the existence of extremum in the Non-differentiable Functions are presented by Dini Derivative and Symmetric Derivative. With these methods , the Existence of Extremum and the Function Ruggedness can be determined。Key words: Non-differentiable Functions ; Monotonicity ; Distinction Law ; Applications 目录 1. Dini导数判别法…………………………………………………………………………… （1） 1.1定理1.1………………………………………………………………………………………（1） 1.2定理1.2………………………………………………………………………………………（2） 2．对称导数判别法………………………………………………………………………………（3） 2.1定理2.1………………………………………………………………………………………（4） 3.推论及应用……………………………………………………………………………………（5） 3.1定理3.1………………………………………………………………………………………（1） 2.2定理3.2………………………………………………………………………………………（2） 4．结束语…………………………………………………………………………………………（9） 参考文献 ………………………………………………………………………………………（10） 致谢 ……………………………………………………………………………………………（11）  不可微函数单调性判别法及其应用 单调性是数学中的一个十分重要的概念，在数学的许多分支中都有广泛的应用和众多的推广.当函数可微时，可以利用导数刻划函数的单调性.利用导数研究可微函数的性质是微分学的重要内容之一，并且具有非常重要的理论与应用价值。然而，对于不可微函数，相关的理论就显得无能为力。对不可微函数，利用对称导数和Dini导数．刻划了单调性的两个特征,得出不可微函数单调性的一般判别方法。 1.Dini导数判别法 定义 1 设,对于所有,下面有四个导数： ； ； ； ； 分别称为在x处的右上导数、右下导数、左上导数和左下导数，它们统称为Dini 导数。Dini 导数有可能为 ;但若不出现这种情况，Dini导数恒存在。特别地，当 满足局部Lipschits 条件时，四个Dini 导数均有限。显然，的导数存在当且仅当四个Dini导数相等. 引理 1 设是[a , b]上的连续函数，且与在（a，b）内均有限，则在[a , b]上的单调增加（或者单调减少）的充要条件是： （或），（或），。 定理 1.1 在[a , b]上是连续函数，且与在（a，b）内均有限,则 （1）当，时，在[a , b]上严格增加； （2）当，，时，在[a , b]上严格减少。 证明: 因为，，， 即： ， ， 故 使得 （*）在（a，b）内任意两点的函数值都不想等。事实上，假设，且，使得。因为在[a , b]上连续，所以在上必有最大最小值。 由于，知的最大值与最小值之一必在内取得。不妨设的最大值在取得，即，当时， ，这与（*）式矛盾。从而在（a，b）内任意