第20讲奇数与偶数.doc

第20讲奇数与偶数 一、知识提要 在整数中能被2整除的数叫做偶数，通常用表示；不能被2整除的数叫做奇数，通常用（或）表示。其中是整数 性质1 奇数≠偶数． 性质2 奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数． 性质3 奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数． 性质4 奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数． 性质5 若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数． 性质6 如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个因子都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个因子是偶数． 性质7 如果两个整数的和(或差)是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和(或差)是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶． 性质8 两个整数的和与差的奇偶性相同． 性质9 奇数的平方除以8余1，偶数的平方是4的倍数. 【性质的证明】 性质1至性质6的证明是很容易的，下面我们给出性质7至性质9的证明． 性质7的证明 设两个整数的和是偶数，如果这两个整数为一奇一偶，那么由性质2知，它们的和为奇数，因此它们同为奇数或同为偶数．同理两个整数的和(或差)是奇数时，这两个数一定是一奇一偶． 性质8的证明 设两个整数为X，y．因为(x+y)+(x-y)=2x为偶数，由性质7便知，x+y与x-y同奇偶． 性质9的证明 若x是奇数，设x=2k+1，其中k为整数，于是x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1． 　　k与k+1是两个连续的整数，它们必定一奇一偶，从而它们的乘积是偶数．于是，x2除以8余1．若y是偶数，设y=2t，其中t为整数，于是y2=(2t)2=4t2 　　y2是4的倍数． 二、典型例题 例1 在1，2，3，…，1998中的每一个数的前面，任意添上一个“+”或“-”，那么最后运算的结果是奇数还是偶数？ 解 由性质8知，这最后运算所得的奇偶性同 1+2+3+…+1998=999×1999 的奇偶性是相同的，即为奇数． 例2 设1，2，3，…，9的任一排列为a1，a2，…，a9.求证：(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数． 证法1 因为 (a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+…+(a9-9) ＝(a1+a2+…+a9)-(1+2+…+9) =0 是偶数，所以，(a1-1)，(a2-2)，…，(a9-9)这9个数中必定有一个是偶数(否则，便得奇数个(9个)奇数的和为偶数，与性质4矛盾)，从而由性质5知(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数． 证法2 由于1，2，…，9中只有4个偶数，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一个是奇数，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一个是偶数，从而(a1-1)(a2-2)…(a9-9)是偶数． 例3 有n个数x1，x2，…，xn，它们中的每一个数或者为1，或者为-1．如果 x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1=0，求证：n是4的倍数． 证: 我们先证明n=2k为偶数，再证k也是偶数． 由于x1，x2，…，xn。的绝对值都是1，所以，x1x2，x2x3，…，xnx1的绝对值也都是1，即它们或者为+1，或者为-1．设其中有k个-1，由于总和为0，故+1也有k个，从而n=2k． 下面我们来考虑(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)＝(-1)k，另一方面，有(x1x2)·(x2x3)…(xnx1)=(x1x2…xn)2=1． 所以(-1)k=1，故k是偶数，从而n是4的倍数． 例求证：满足方程的整数、、中不能都是奇数、、都是奇数，可知,,也都是奇数. 所以+是偶数，而是奇数，故等式不成立.由此导出矛盾，故原命题成立. 例 求证：方程没有整数解. 证明. 因为与的奇偶性相同.如果与同为偶数，则右边一定能被4整除，而右边不是4的倍数，故矛盾； 如果与同为奇数，则左边一定是奇数不能被2整除，而右边是偶数可以被2整除，故矛盾.所以，方程没有整数解. 例6 设a，b是自然数，且满足关系式(11111+a)(11111-b)=123456789． 求证：a-b是4的倍数． 证 由已知条件可得11111+a与11111-b均为奇数，所以a，b均为偶数．又由已知条件11111(a-b)=ab+2468，①　ab4的倍数，2468=4×617也是4的倍数，所以11111×(a-b)是4的倍数，故a-b是4的倍数. 例7 某次数学竞赛，共有40道选择题，规定答对一题得5分，不答得1分，答错倒扣1分．证明：不论有多少人参赛，全体学生的得分总和一定是偶数． 证 我们证明每一个学生的得分都是偶数． 设某个学生答对了a道题，答错了b道题，那么还有40-a-b道题没