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水塔流量的估计 问题的提出 二、问题的分析 流量是单位时间流出的水的体积，由于水塔是正圆柱形，横截面积是常数，在水泵不工作的时段，流量很容易从水位对时间的变化率算出，问题是如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水时段前后的流量拟合得到，作为用于拟合的原始数据，我们希望水泵不工作的时段流量越准确越好。 这些流量大体可由两种方法计算: 一是直接对表1中的水位用数值微分算出各时段的流量，用它们拟合其它时刻或连续时间的流量。 二是先用表中数据拟合水位~时间函数，求导数即可得到连续时间的流量。 一般说来数值微分的精度不高，何况测量记录还是不等距的，数值微分的计算尤其麻烦。下面我们用第二种方法处理。 有了任何时刻的流量，就不难计算一天的总用水量。 其实，水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到，如表1可知从t=0到t=8.97(h)水位下降了968 –822=146(cm)，乘以水塔的截面积就是这一时段的用水量。这个数值可以用来检查拟合的结果。 模型假设 1. 流量只取决于水位差，与水位本身无关。按照Torricelli (托里切利, 1608-1647, 意大利数学家、物理学家、气压计原理发现者)定律从小孔流出的流体的流速正比于水面高度的平方根，题目给出水塔的最低和最高水位分别是8.2m和10.8m(设出口的水位为零),因为 所以可忽略水位对速度的影响。 水泵第1次供水时段为t=9到t=11(h),第2次供水时段为t=20.8到t=23 (h)。这是根据最低和最高水位分别是8.2m和10.8m及表1的水位测量记录作出的假设。 其中前3个时刻取自实测数据（精确到0.1h）,最后1个时刻来自每次供水约两小时的已知条件（从记录看，每2次供水时段应在有记录的22.96h之后不久结束）。 3. 水泵工作时单位时间的供水量大致是常数，此常数大于单位时间的平均流量。 4. 流量是对时间的连续函数。 5. 流量与水泵是否工作无关。 6. 由于水塔截面积是常数, S=(17.4/2)2π=237.8m2,为简单起见，计算中将流量定义为单位时间流出的水的高度，即水位对时间变化率的绝对值（水位是下降的），最后给出结果时再乘以S即可。 即：水位是时间的连续函数 h=h(t) 水位对时间的变化率(流量) h=d h(t) / dt 任何时刻的流量： v(t)=-h’(t)S 四、估计流量 1.拟合水位~时间函数 从表1 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段）和3个水泵不工作时段(以下称第1用水时段t=0到t=8.97，第2用水时段t=10.95到t=20.48和第3用水时段t=23以后)。 对第1、2用水时段的测量数据分别作多项式拟合，得到水位函数 h1=h1(t) 和h2=h2(t) 。为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般用3~6次。由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出比较好的拟合，可采用外推的办法解决。 2. 确定流量~时间函数 对于第1、2用水时段，只需将水位函数hi=hi(t), i=1,2 求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3用水时段流量包含在第2供水时段内，需要拟合四个流量函数。 一天总用水量的估计 总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。 五、算法设计与编程 1. 拟合第1用水时段[0,9] 的水位、流量 设t、h为已输入的时刻和水位测量记录(水泵启动的4个时刻不输入): t=[0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.01 7.93 8.97 9.98 10.92 10.95 12.03 12.95 13.88 14.98 15.90 16.83 17.93 19.04 19.96 20.84 22.01 22.96 23.88 24.99 25.91]; h=[968 948 931 913 898 881 869 852 839 822 0 0 1082 1050 1021 994 965 941 918 892 866 843 822 0 0 1059 1035 1018]; 第1用水时段各时刻的流量可由如下程序代码得到： c1=polyfit(t(1