抛物线的尺规作图实践.docVIP

抛物线的尺规作图实践 龚新平 201801 上海市育才中学 参考文章[1]中指出了尺规作图教学的现代意义，利用直尺与圆规作图是数学理性思维的体现，也是数学与艺术的有力结合！上海“二期课改”制订的《数学课程标准》也较多地保留了尺规作图的基本要求，本文将利用尺规作图，实践探究有关抛物线的作图问题。 一：给定抛物线，如何尺规作图找对称轴？ （1）任取一条弦QR及其平行弦，连接各弦中点，在抛物线内形成一条射线，即为抛物线的一条直径（如图中PV）； （2）作直径PV的一条垂直弦，取其中点，过该中点作直径PV的平行线，即为抛物线的对称轴。 二：给定抛物线，如何尺规作图找焦点？ （1）依照上述实践八，作出抛物线的对称轴； （2）过顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB，弦AB与对称轴的交点记为G， （3）在对称轴上取点F，满足，则点F即为抛物线的焦点。 理论依据：直线L与抛物线交于A、B两点，则（是原点）的充分必要条件是L过定点。 另外，如果已知抛物线的准线，除了依上述方法先找出对称轴再确定焦点外，也可以在抛物线上取两点，分别为圆心画两个圆，且均与准线相切，由抛物线定义知：两圆的一个公共点必是抛物线的焦点F！ 三： 给定抛物线及其外一点P，如何作出过P点的切线？ 作法一：（1）依照上述实践一，作出抛物线的对称轴； （2）作点Q处的切线QT：延长VP至点T，使VP=PT，连接QT即为Q点处的切线。 理论依据：作法二中，当VP=PT，直线QT就是Q点处的切线。 证：以对称轴为x轴，顶点为原点，建立直角坐标系。设抛物线方程为，直线QV的斜率为k，则抛物线的直径PV方程为，进而点V的横坐标，则点T的横坐标，直线QT的方程抛物线方程联立得到：，这个关于y的一元二次方程有两等根，即直线QT是抛物线的切线！ 作法二：（1）找出焦点F、准线L； （2）在准线上截取M、N两点，使PM=PN=PF； （3）过点P分别作MF、NF的中垂线，即抛物线过点P的两条切线； 四：利用尺规作图，构造抛物线 作法一：（1）取出一个矩形纸片，在内部居中的地方取定点F； （2）选定一条边a将其翻折，使该边正好通过点F，画出此时的折痕； （3）重复步骤（2），得到很多条不同的折痕； （4）画一条与这些折痕均相切的光滑曲线，即为抛物线曲线。 作法二： 取定点F，作一条不通过F的直线 a； 让直角三角板直角边LM过定点F，直角顶点M放在直线a的任意位置，然后沿另一条直角边MN画直线； 依此方法画出越来越多条直线； 画一条与这些直线都相切的光滑曲线，得到抛物线轨迹。 理论依据：N是抛物线上任意一点，过焦点F作的角平分线，（准线L）垂足M的轨迹是y轴。（图中点N处的切线正是的中垂线！） 解析几何中还有很多关于抛物线的尺规作图问题值得进一步探究，希望本文能起到抛砖引玉的作用！ 参考文章： 1．《尺规作图教学的现代意义》 乐嗣康 等 苏州大学《中学数学月刊》