9-3_空间平面方程.pdfVIP

E-mail: xuxin@ahu.edu.cn §3 空间平面方程 本节以向量为工具，讨论平面及方程的 特征，并建立平面方程。 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 一、平面方程的几种形式 1、点法式方程（法向量及点法式方程） 几何上，任给空间中某一点，及某一方向， 都可且只可做一条过该定点且垂直于给定方向的平 面。下面用解析式描述此几何关系. 设：平面π过定点M (x ,y ,z )且垂直于方向n=(A ,B,C) 0 0 0 0 n 说明：平面的法向量必定垂直于 y M 该平面内的一切向量。 • • π M0 任取平面π上一点M(x, y , z). 由已知，n ⊥M M ， 0 0 x z 故 n⋅M M=0. 0 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 设P (x, y , z )为空间中任一点，则点P在平面π上的充要条件 P P {x =−x ,y −y ,z −z } n n ⋅P P 0 0 0 0 0 与此法向量 垂直，及 0 ∴ (A , B, C)⋅(x−x , y −y , z−z ) 0 0 0 = A (x −x )+B(y −y )+C(z −z ) 0 0 0 = 0. (1) 即平面π上任意点M(x, y , z)都满足方程(1). 反之若(x, y , z)满足(1)，则由(1). n与 M M 垂直. 即M在平面 π上. 0 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 我们称垂直于平面 π 的任何非零向量为π的法 因此，n 即为π之一个法向. 方向或法向， 方程(1)依赖于法向n及定点M(x , y , z ). 故(1)称 0 0 0 为平面π 的法点式方程. A (x −x )+B(y −y )+C(z −z )=0 法点式方程 0 0 0 E-mail: xuxin@ahu.edu.cn 例1