境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用相关知识解决.pptVIP

以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的数列构造问题是高考对本节内容的常规考法，09年广东高考将函数、数列、不等式、导数等知识综合命题考查学生推理论证能力、函数与方程思想、转化与化归思想和放缩法的应用，是高考考查的一个新方向. 　 [考题印证] (2009·广东高考)(14分)已知曲线Cn：x2－2nx＋y2＝0(n＝1,2，…).从点P(－1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn＞0)的切线ln，切点为Pn(xn，yn). (1)求数列{xn}与{yn}的通项公式； (2)证明：x1·x3·x5·…·x2n－1＜ 【解】　(1)直线ln的方程为y＝kn(x＋1)，kn＞0. 代入曲线Cn的方程得： ( ＋1)x2－2(n－ )x＋ ＝0. ∵ln与Cn相切， ∴方程有等根xn， Δ＝4(n－ )2－4( ＋1) ＝0?kn＝ ┄(2分) ┄┄┄(4分) (2)证明：由(1)知，xn＝ 于是所证明的不等式变为 (a)先证明： ∵4n2－1＜4n2， ∴(2n－1)(2n＋1)＜4n2 ?(2n－1)2(2n＋1)＜4n2(2n－1)，┄┄┄┄┄┄┄(8分) (b)再证明 ＜ sin . 令f(x)＝sinx－ x，则f′(x)＝cosx－ . 当x∈[0， )时，f′(x)＞0， 所以f(x)在[0， )上单调递增，┄┄┄┄┄┄┄(12分) 又xn＝ ∈(0， )(n≥1)， ∴f(xn)＝sin ＞f(0)＝0. 所以 故x1·x3·x5·…·x2n－1＜ (14分) 　 [自主体验] (文)已知数列{an}的前n项和为Sn，点Pn( ， ) (n∈N*)在函数f(x)＝ ＋4的图象上，且a1＝1，an0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：Sn ，n∈N*. 解：(1)由于点Pn( )，n∈N*，在函数f(x)＝ ＋4的图象上， ∴ ＋4，n∈N*， ∴ ＝4，n∈N*， ∴数列{ }是等差数列，首项为 ＝1，公差为4. ∴ ＝1＋4(n－1)＝4n－3，n∈N*， ∴ ，n∈N*. ∵an0， ∴an＝ ，n∈N*. (2)证明：∵an＝ ，n∈N*， (理)已知曲线C：y＝x2(x0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1； (3)求证： 解：(1)∵曲线C在点An(an， )处的切线ln的斜率是2an，∴切线ln的方程是y－ ＝2an(x－an)， 由于点Bn的横坐标等于点An＋1的横坐标an＋1， ∴令y＝0，得an＋1＝ an， ∴数列{an}是首项为1，公比为 的等比数列， ∴an＝ . (2)证明：∵Sn＝ ＝2(1－ )， ∴anSn＝4× (1－ ).令t＝ ，则0t≤ ， ∴anSn＝4t(1－t)＝－4(t－