全国数模竞赛题选讲1-最优捕鱼策略(96A).ppt

数学建模竞赛题选讲(1) * Jingsaitixuanjiang * * 最优捕鱼策略 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略： 鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形， 眼、口大，无侧线，生活在海中。鳀鱼是一种生活在温带海洋中上层的小型鱼类，广泛分布于我国的渤海、黄海和东海，是其它经济鱼类的饵料生物。 （1996 年全国大学生数学建模竞赛 A 题） 假设这种鱼分 4 个年龄组，称 1 龄鱼，…，4 龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）, 这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4 龄鱼的产卵量为 1.109×105(个)，3 龄鱼的产卵量为这个数的一半，2 龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后 4 个月，卵孵化并成活为 1 龄鱼，成活率（1 龄鱼条数与产卵量 n 之比）为1.22×1011/(1.22 ×1011+n）。 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的 8 个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群的条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用 13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞 3 龄鱼和4 龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42 : 1 。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。 2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务 5 年，合同要求 5 年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。 一、问题的分析 1、给出了各年龄组鱼群的转化规律 2、给出了它们的相对自然死亡率 1 龄鱼 2 龄鱼 3 龄鱼 4 龄鱼 收获 1～8月 捕获 产卵 9 ～12月 自然死亡 鱼的 条数 每条 3 龄鱼产卵量为 (个)， 只有 3、4 龄鱼在每年的 9、10、11、12 月份集中产卵。 每条 4 龄鱼产卵量为1.109×105 (个)， 成活率（ 1 龄鱼条数与产卵总量 n 之比） 3、 给出了鱼产卵的时间分布 并给出 3、4 龄鱼产卵的数量关系： 在最后 4 个月的季节里， （如渔船数，下网次数）及 3、4 龄鱼捕捞强度系数的比值。 捕捞强度系数 k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条 数成正比。 建模目标 要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在各年开始捕捞前条数不变(保证可持续捕获的要求),并在此条件下，得到以重量计的最大捕获量。 4、固定每年投入的捕捞能力 二、主要变量说明 : 表示（t+1）年 i 龄鱼的数量 : 表示 4 龄鱼捕捞强度系数，则 3 龄鱼捕捞强度系数为 : 3, 4 龄鱼的产卵总数 ( i=1,2,3,4; t=0,1,2,3,4 ) : 表示所捕捞鱼的重量 主要变量：各龄鱼的数量。 三、 模型建立 建立各相关量与捕捞强度系数 k 的关系，控制 k 到最佳数值，在满足可持续捕获的条件下达到最大收获量。 建模的关键： 1、 鱼的数量变化的一般模型 ⑴ 各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定状态，即到平衡年时, 年末和年初的各龄鱼的数量基本保持不变。 自然死亡情况下 ? 有捕捞情况下 ⑵ ? 2、各龄鱼数量变化的具体模型 设年初各龄鱼数量分别为： 8月末，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为： 12月末，各龄鱼群数量为： 卵的总数量为 n，t 按年算，则 1~8月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末 9~12月份，产卵季节。期间无捕捞，则12月末 再设 分别为 3、4 龄鱼在产卵期平均数量，n 为 3、4 龄鱼产卵数量之和，t 按月计 若 t 按月算，则 故产卵期产卵总量为 a 为平均每条 4 龄鱼产卵个数, 个。 设 为第 2 年各龄鱼的 初值数量, 则有 1）1 龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转 化而成，即 4）4 龄鱼即上一年末 3 龄鱼 2）2 龄鱼由上一年 1 龄鱼转化而成，即 3）3 龄鱼即上一年末 2