《现代控制理论基础》ch2第二章线性控制系统的运动分析.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 拉式反变换，参刘豹书65页 * * 说明1：状态转移矩阵须满足以下条件，否则不是状态转移矩阵 1）状态转移矩阵初始条件： 2）状态转移矩阵满足状态方程本身： 说明2：线性定常系统的状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身 说明3：状态转移矩阵的物理意义： 从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地 作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵 * * 二、状态转移矩阵的性质 1、对于线性定常系统： 说明：此性质的含义是，从t0到t0的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。 不变性 2、对于线性定常系统： 3、对于线性定常系统： 传递性 说明：此性质表明，从t0到t2的转移可以分为两步： 先从t0转移到t1，再从t1转移到t2。 证明: 同时有: 比较x(t2)的两种表达形式有: * * 4、对于线性定常系统： 可逆性 说明：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。 说明：由性质1、3证明 5、对于线性定常系统： 分解性 说明：由 去证明。 6、对于线性定常系统： * * 三、与状态转移矩阵相关的问题 1、已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵： 方法是利用 直接求解。 2、利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵。 由 可得 3、已知状态转移矩阵，求系统矩阵A阵 说明：利用状态转移矩阵性质2求 4、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。 [本节小结]： * * [例]已知某二阶系统齐次状态方程为： ，其解为： 试求状态转移矩阵 。 [解]：设 ，则： 则有： 所以： * * 第四节 线性定常非齐次状态方程的解 * * 若线性定常系统的非奇次状态方程 的解存在，则解形式如下： 一、直接求解法 初始状态引起的响应，零输入响应 输入引起的响应,零状态响应 说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。 * * [证]： 1）先把状态方程 写成 3）对上式在 区间内进行积分，得: 直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数 2）两边左乘 ，再利用 的性质 * * 对非齐次状态方程 两边进行拉氏变换得： 二、拉氏变换求解法 整理得： 结论： [例]：已知状态方程为： 其初始状态为： 求系统在单位阶跃输入作用下状态方程的解。 * * [解]： 1）直接求解：(作为课后练习） 2）拉氏变换法求解： 先求 由于： 所以： * * 拉氏反变换得方程解为： [本节小结]：定常、时变系统状态转移矩阵，性质，求解方法 可以得到： 阶跃响应拉氏变换： * * * * 从标量微分方程的求解中启示：先将解写成矢量幂级数的形式，再用待定系数法求解。 表达两个不同时刻系统状态间的联系,这种联系通过矩阵指数函数刻画 * * * * * * * * 有分块矩阵相乘的性质。 * * * * * 从而，A的高阶幂次项（大于等于n）可用知道n-1阶的进行线性组合。从而，在矩阵指数函数中，可以消去高阶幂次项。 * * * * * 第二章 线性控制系统的运动分析 线性定常齐次状态方程的解 矩阵指数函数 状态转移矩阵 线性定常非齐次状态方程的解 * * [预备知识]：线性定常系统的运动 1、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u＝0时，由初始状态引起的运动称自由运动。 齐次状态方程的解： 2、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。 非齐次状态方程的解： * * 第一节 线性定常齐次状态方程的解 * * 满足初始状态 的解是： 一、直接求解： 1、标量齐次微分方程： 满足初始状态 的解是： 满足初始状态 的解是： 2、齐次状态方程 其中： 定义为矩阵指数函数，和A一样也是n×n阶方阵 [线性定常齐次状态方程的求解方法]：直接求解，拉氏变化求解 * * 求解过程：仿标量方程求解 将式(4)代入式(1)，即可得到通解为： （5） 式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得： （4） (1)(2)代入状态方程得： （3） 设齐次状态方程的解为 当