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平面向量复习 1、平面向量的数量积 （1）a与b的夹角： （4）两个非零向量的数量积： 规定：零向量与任一向量的数量积为0 平面向量数量积的重要性质 （1）e · a = a · e =| a | cosθ （2）a ⊥ b的条件是 a · b =0 (3) 当 a与b同向时， a · b = |a | | b | ; 当 a 与b 反向时，a · b = - |a | | b | 特别地：a · a=| a | 2 或 | a | = （4）cosθ= （5）| a·b | ≤ | a | | b | 例3. 已知向量a, b 不共线． (1)若AB = a ? b, BC=2 a ? 8 b, CD= 3(a + b),求证A、B、D共线;  (2)若 ka ? b 与 a ? kb 共线, 求实数 k 的值。 [例6] [解析] * * * * * 例2 一个物体受到同一平面内三个力F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为东偏北30°， |F3| =6N，方向为西偏北60°，求这三个力的合力所做的功. 东 F1 北 西 南 F2 F3 W=F·s= J. 平 面 向 量 复 习 平 面 向 量 表示 运算 实数与向量 的积 向量加法与减法 向量的数量积 平行四边形法则 向量平行、垂直的条件 平面向量的基本定理 三 角 形 法 则 向量的三种表示 向量的相关概念 一、向量的相关概念: （1）零向量： （2）单位向量： （3）平行向量： （4）相等向量： （5）相反向量： 2)重要概念： 3)向量的表示 4)向量的模（长度） 1)定义 2)实数λ与向量 a 的积 3)平面向量的数量积： (1)两向量的夹角定义 (2)平面向量数量积的定义 (4)平面向量数量积的几何意义 (3)a在b上的投影 (5)平面向量数量积的运算律 二、向量的运算 1）加法：①两个法则 ②坐标表示 减法: ①法则 ②坐标表示 运算律 三、平面向量之间关系 向量平行(共线)条件的两种形式: 向量垂直条件的两种形式: （3）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等. 四、平面向量的基本定理 注:满足什么条件的向量可作为基底? 向量定义： 既有大小又有方向的量叫向量。 重要概念： （1）零向量： 长度为0的向量，记作0. （2）单位向量： 长度为1个单位长度的向量. （3）平行向量： 也叫共线向量，方向相同或相反 的非零向量. （4）相等向量： 长度相等且方向相同的向量. （5）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 几何表示 : 有向线段 向量的表示 字母表示 坐标表示 : (x，y) 若 A(x1,y1), B(x2,y2) 则 AB = (x2 － x1 , y2 － y1) 向量的模（长度） 1. 设 a = ( x , y ), 则 2. 若表示向量 a 的起点和终点的坐标分别 为A(x1,y1)、B (x2,y2) ，则 平 面 向 量 复 习 1.向量的加法运算 A B C AB+BC= 三角形法则 O A B C OA+OB= 平行四边形法则 坐标运算: 则a + b = 重要结论：AB+BC+CA= 0 设 a = (x1, y1), b = (x2, y2) ( x1 + x2 , y1 + y2 ) AC OC 平 面 向 量 复 习 2.向量的减法运算 1）减法法则： O A B 2）坐标运算: 若 a=( x1, y1 ), b=( x2, y2 ) 则a － b= 3.加法运算率 a+b=b+a （a+b)+c=a+(b+c) 1）交换律： 2）结合律： BA (x1 － x2 , y1 － y2) OA－OB = 平 面 向 量 复 习 实数λ与向量 a 的积 定义： 坐标运算： 其实质就是向量的伸长或缩短！ λa是一个 向量. 它的长度 |λa| = |λ| |a|； 它的方向 (1) 当λ0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反. 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y) = (λ x , λ y) （2）向量夹角的范围： （3）向量垂直： [00 ，180