2016高中数学人教B版必修43.2.2“半角的正弦、余弦和正切”同步课件.pptVIP

* 中小学课件 课堂讲练互动 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 第三章　三角恒等变换 　3．2　倍角公式和半角公式 3．2.2　半角的正弦、余弦和正切 学 习 目 标1.掌握半角的正弦、余弦和正切公式． 2．能灵活运用这些公式进行简单三角函数式的化简、求值和证明恒等式. 自 学 导 航半角公式 1．cos＝. 2．sin＝. 3．tan＝. ± ± ± 思 考 探 究能用不含根号的形式由sinα，cosα表示tan吗？ 提示　tan＝＝. 自 测 自 评1.已知cosθ＝，θ(270°，360°)，则cos的值为(　　) A.　　　　　B．－ C．± D．－ 解析　θ∈(270°，360°)，∈(135°，180°)． cos＝－＝－ ＝－＝－. 　答案　B 2．已知tanα＝，α∈，则sin的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 　答案　A 3．已知cosθ＝－，θ3π，则sin的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 　解析　θ3π，. ∴sin＝－＝－ ＝－. 　答案　D 4．在tan的定义域内，下列各式中恒成立的一个是(　　) A．tan＝ B．tan＝－ C．tan＝ D．tan＝ 解析　tan＝＝. 　　答案　C 名 师 点 拨1.倍角公式与半角公式联系密切，弄清公式的来龙去脉对记忆公式非常有利．这部分公式虽多，但都有一定规律可找，而且在公式的推导过程中记忆公式，并不太难，因此，应在弄清公式的推导过程中，熟记公式，并能应用． 2．这部分公式的变形较多如升幂公式与降幂公式等，应用这些公式时，要针对题目的条件选择适当的公式，如待求式中同时含sinα，cosα，tan，应选择公式tan＝＝，含有三角函数的平方形式时，一般选择降幂公式，而根式的化简常常需要升幂去根号． 　3．这里要特别注意公式中的根号前的双重符号，它取决于终边所在的位置，如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；若给出了角α的具体范围，则先求的范围，再选择合适的符号. 　　例1　求sin，cos，tan的值． 剖析　利用半角公式 典 例 剖 析解析　sin＝＝＝； cos＝＝＝； tan＝＝＝ ＝＝＝－1. 规律技巧　应用半角公式时要特别注意根号前的符号： (1)若已给出所在象限，则由所在象限确定该三角函数的符号． (2)若没有给出限定符号的条件，则该三角函数应取正、负值，其详细变化见下表. 　α sin cos tan 第一象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋，－ ＋，－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － 第四象限 第二、四象限 ＋，－ －，＋ － (3)推论tan＝＝表明tan与sinα的符号相同，用起来非常方便． 　变式训练1　已知cosα＝，求sin，cos，tan. 　解析　sin＝±；cos＝±；tan＝±. 例2　求证：(1) 1＋sinα＝2cos2； (2) cos4θ＝＋cos2θ＋cos22θ. 剖析　等式两边最明显的差异是角不同，因此可考虑使用半角公式统一角后再去化简证明． 证明　(1)原式右边＝2× ＝1＋cos＝1＋sinα＝左边， 原式成立． (2) 证法1：原式左边＝2 ＝＋cos2θ＋cos22θ＝右边， 原式成立． 证法2：原式右边＝(cos22θ＋2cos2θ＋1) ＝(cos2θ＋1)2＝(2cos2θ－1＋1)2 ＝cos4θ＝左边， 原式成立． 规律技巧　代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构方面的差异，而且还会有角及函数种类方面的差异，因此三角变换常常从角入手，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角变换的重要特点． 　变式训练2　化简(cot－tan)(1＋tanαtan)． 解析　tan＝＝， 原式＝ ＝· ＝·＝·＝. 规律技巧　代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构方面的差异，而且还会有角及函数种类方面的差异，因此三角变换常常从角入手，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角变换的重要特点． 　例3　已知sinα＝，sin(α＋β)＝，α、β均为锐角，求cos的值． 剖析　利用已知角，将cosβ的三角函数值先求出，然后利用半角公式． 　解析　0α，cosα＝＝. 0α，0β，0α＋βπ. 若0α＋β，sin(α＋β)sinα， α＋βα不可能成立，故α＋βπ. cos(α＋β)＝－. cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα ＝－×＋×＝. 0β即0