2015-2016高中数学 1.2.1平面的基本性质学案 苏教版必修2.docVIP

1．2　点、线、面之间的位置关系1．2.1　平面的基本性质我们在日常生活中常见到一些物体那么我们能够将这些面定义为平面吗？测量中的平板仪、望远镜或照相机等都用三条腿的架子支撑在地面上你知道其中的道理吗？1．我们知道几何里的平面是A∈α，读作：“点A在平面α内”；B读作：“点B在平面α外或点B不在平面α内”．②A∈l读作：“点A在直线l上”；读作：“点B在直线l外或点B不在直线l上”．③l读作：“直线l在平面α内”；l读作：“直线l在平面α外或直线l不在平面α内”．公理1.(1)文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平面内．(2)符号语言：A∈l公理2.(1)文字语言有一个公共点那么它们还有其他公共点这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．(2)符号语言：P∈α＝l公理3.(1)文字语言：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面．(2)符号语言：A∈lB∈l，C?l?三点A、B、C确定唯一平面α．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．, 一、公理1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内那么这条直线上所有的点都在这个平面内．该公理是判定直线在平面内的依据．证明一条直线在某一平面内即只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内即可．二、公理2公理2：如果两个平面有一个公共点那么它们还有其他公共点这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．该公理主要用于判定或证明两个平面相交及三点在同一证明点共线的问题一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点(依据：由点在线上线在面内推出点在面内)这样可根据公理2证明这些点都在这两个平面的公共直线上．证明共点问题一般是先证明两条直线交于一点再证明这点在第三条直线上而这一点是两个平面的公共点这第三条直线是这两个平面的交线．三、公理3及其三个推论公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2：经过两条相推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．公理3和三个推论是证明点和点、点和线、线和线共面的重要依据是把空间问题化归成平面问题的重要渠道． 知识点一　平面的概念及符号表示下列说法中正确的有________(填序号)．一个平面长4 宽2 ；个平面重叠在25 cm2；一条直线的长度比一个平面的长度大；圆和平行四边形都可以表示平面．解析：根据平面定义前4个说法均不正确正确．答案：⑤点M在直线a上且直线a在平面α内可记为________．解析：点、线、面的关系采用集合中的符号来记．答案：M∈a根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝AB直线直线EF∩β＝F解析：由题意画图形如下：知识点二　平面基本性质三条公理平面α、β有公共点A则α、β有________个公共点．解析：根据公理2.答案：无数如图平面α∩平面β＝l、B∈αl，直线AB∩l＝D 过A、B、C三点确定的平面为γ则平面γ、β的交线必过点________．解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内故在β与γ的交线上．答案：C和D空间________个平面．解析：若四点共线可确定无数个平面；若四点共面不共线可确定一个平面；若四点不共面可确定四个平面．答案：1个或4个或无数知识点三　平面基本性质三条推论下列命题说法正确的是________(填序号)．空间中不同三点确定一个平面；空间中两两相交的三条直线确定解析：根据三个公理及推论知①②③均不正确．答案：④下列各图的正方体中、Q、R、S分别是所在棱的中点则使这四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．解析：①中PS∥RQ中SR∥PQ由推论3知四点共面．答案：①③点A在直线l上但不在平面α内则l与α的公共点有__________个．答案：0或1 综合点一　点共线的问题10．如图在正方体ABCDA1D1中设A平面ABC＝E则B、E、D三点的关系是________________________________．解析：连接AC、A、AC则E为A与AC的交点故E为AC的中点．又ABC为平行四边形所以B、E、D答案：共线如右图、F、G、H分别是空间四边形中AB、BC、CD、DA上的点且EH与FG交于点O.求证：B、D、O三点共线．证明：∵E∈AB平面ABD平面ABD.平面ABD.＝O平面ABD.同理可证O∈平面BCD.平面ABD∩平面BCD＝BD即B、D、O三点共线．综合点二　线共点问题如图正方体ABCDA中、F分别是棱AA、AB的中点求证：D、CF、DA三线共点．证明：如图连接EF、F为AA、AB的中点A1B. 又∵AD1C， ∴EF綊D1C. 故直线D、CF在同一个平面内且D、CF不平行