2013新人教A版选修（2-2）1.4“生活中的优化问题举例”课件.pptVIP

例1:海报版面尺寸的设计 * 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题．解决这些问题具有非常重要的现实意义． 通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128cm2,上下边各空2cm,左右各空1cm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 解：设版心的高为xcm,则宽为 此时四周空白面积为 类型一：求面积、容积的最大问题 因此，x=16是函数s(x)的极小值点，也是最小值点。 所以，当版心高为16cm,宽为8cm时，能使四周空白面积最小。 答：当版心高为16cm,宽为8cm时，海报四周空白面积最小。 求导数，有 解得，x=16 (x=-16舍去) 解法二：由解法(一)得 则有　xy=128，（１） 另设四周空白面积为Ｓ， 则 （２） 由（１）式得： 代入（２）式中得： x y 2 例2、在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？ 解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积 V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0x60). 令 ,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=16000. 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子的容积很小,因此,16000是最大值. 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3. 练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？ 则两个正方形面积和为 解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x, 其中0xl 由问题的实际意义可知： 方法与技巧：在求面积、容积最大值问题时，要注意充分利用几何图形，建立数学模型，列出函数关系式，可以利用两种方法求解：一是利用导数求最值；二是利用基本不等式求最值，无论使用哪种方法都应该注意自变量的取值范围。 【解】设位于抛物线上的矩形的一个顶点为（x，y）， 且x ＞0，y ＞0， 则另一个在抛物线上的顶点为（－x，y）， 在x轴上的两个顶点为（－x，0）、（x，0）， 其中0＜ x ＜2．设矩形的面积为S， 则S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2． 由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝ ，易知 x ＝ 是S在（0，2）上的极大值点，即最大值点。 例1：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得 ，则 令 解得， ， 类型二：用料最省、费用最低问题 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 R h 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 当 时， 例2：如图,铁路线上AB段长100km, 工厂C到铁路的距离CA=20km. 现在要在AB上某一处D,向C修 一条公路.已知铁路每吨千米与 公路每吨千米的运费之比为3:5.为了使原料 从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处? B D A C 解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= km. 又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂C的总运费为 令 在 的范围内有唯一解x=15. 所以,当x=15(km),即D点选在距A点15千米时,总运费最省. B D A C 某商品生产成本Ｃ与产量q的函数关系式为 , 价格p与产量q的函数关系式为 求产量 q 为何值时，利润 L 最大？ 类型三：利润最大问题 例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般 比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。