北师大版选修2-1高中数学2.5“夹角的计算”课件.pptVIP

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1.共面直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时,我们把两条直线交角中,范围在____________内的角叫作两直线的夹角. 2.异面直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时,在直线l1上任取一点A作AB∥l2,我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角. 4.由于两条直线所成的角,线面角都是锐角或直角,因此可直接通过绝对值来表达,故可直接求出,而二面角的范围是[0,π],有时比较难判断二面角是锐角还是钝角,因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断,故这是求二面角的难点. 5.异面直线夹角与向量夹角的差异 根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角,而向量夹角的范围为[0,π].所以从范围上讲,这两个角并不一致,但却有着相等或互补的关系,所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外). 1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于(  ) A.120°      B.60° C.30° D.以上均错 [答案] C [总结反思] (1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序化,即建坐标系,设点,求向量,考查数量积. (2)方法二是求两异面直线所成的角的一般方法:通常是平移变异面直线为相交直线,然后解三角形. 在求两条直线所成的角时,容易忽略了两直线所成角的范围. 用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时,若向量夹角为锐角(或直角),则等于异面直线所成的角;若向量夹角为钝角,则它的补角等于异面直线所成的角. [总结反思] 本题考查空间中线面关系的判定、空间角的求法.在判断空间中直线位置关系时,常用勾股定理逆定理来证明线线垂直;求二面角的平面角是高考重点,可用空间向量来解决.还有面积法、异面直线法,作三垂线定理法等要灵活应用. [证明] 解法1:(1)连接OC,因为OA=OC,D是AC的中点,所以AC⊥OD. 又PO⊥底面⊙O,AC底面⊙O,所以AC⊥PO,因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以AC⊥ 平面POD,而AC平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC. (2013·新课标Ⅰ理,18)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. [解析] (1)取AB中点O,连接CO,A1B ,A1O, ∵AB=AA1,∠BAA1=60°,∴△BAA1是正三角形, ∴A1O⊥AB,∵CA=CB,∴CO⊥AB, ∵CO∩A1O=O,∴AB⊥平面COA1,∴AB⊥A1C. (2)由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB, 又∵平面ABC⊥平面ABB1A1,平面ABC∩平面ABB1A1=AB,∴OC⊥平面ABB1A1,∴OC⊥OA1, 如图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,且AS=AB.求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值. (2014·天津理)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点. [解析] 解法一:依题意,以点A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),由E为棱PC的中点, 得E(1,1,1). 方法二:(1)证明:如图,取PD中点M,连接EM,AM. (3)解:如图,在△PAC中,过点F作FH∥PA交AC于点H,因为PA⊥底面ABCD,故FH⊥底面ABCD,从而FH⊥AC, [总结反思] (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量,经过简单的运算即可求出,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们可以根据图形观察得到结论,因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的. (2)注意法向量的方向:一进一出,二面角等于法向量的夹角;同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. [总结反思] 在解题过程中,犯了两个错误:一个是没有弄清楚线面垂直的判定定理,错误地认为直线与平面内一条直线垂直就线面垂直;一个是混淆了线面角的定义,错误地把直线与平面法向量的夹角当作线面角. [正解] 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1. [总结反思] 这位同学在解题过程中,犯了两个错误,一个是解题步骤不严谨,一个是用法向量n1、n2求二面角的大小时〈n1,n2〉与二面角的关系是相等或互补,此题就是〈n1,n2〉的补角. 直线与平面的夹角 (1)证明:AB⊥A1C; (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值. 向量法的综合应用 (1)

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