北师大版选修2-1高中数学2.5“夹角的计算”课件.pptVIP

1．共面直线的夹角 当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在____________内的角叫作两直线的夹角． 2．异面直线的夹角 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹角叫作异面直线l1和l2的夹角． 4．由于两条直线所成的角，线面角都是锐角或直角，因此可直接通过绝对值来表达，故可直接求出，而二面角的范围是[0，π]，有时比较难判断二面角是锐角还是钝角，因为不能仅仅由法向量夹角余弦的正负来判断，故这是求二面角的难点． 5．异面直线夹角与向量夹角的差异 根据异面直线所成角的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)． 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　　　　 B．60° C．30° D．以上均错 [答案]　C [总结反思]　(1)向量法求异面直线所成的角的特点是程序化，即建坐标系，设点，求向量，考查数量积． (2)方法二是求两异面直线所成的角的一般方法：通常是平移变异面直线为相交直线，然后解三角形． 在求两条直线所成的角时，容易忽略了两直线所成角的范围． 用方向向量所成的角表示异面直线所成角的大小时，若向量夹角为锐角(或直角)，则等于异面直线所成的角；若向量夹角为钝角，则它的补角等于异面直线所成的角． [总结反思]　本题考查空间中线面关系的判定、空间角的求法．在判断空间中直线位置关系时，常用勾股定理逆定理来证明线线垂直；求二面角的平面角是高考重点，可用空间向量来解决．还有面积法、异面直线法，作三垂线定理法等要灵活应用． [证明]　解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD． 又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥ 平面POD，而AC平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC． (2013·新课标Ⅰ理，18)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. [解析]　(1)取AB中点O，连接CO，A1B ，A1O， ∵AB＝AA1，∠BAA1＝60°，∴△BAA1是正三角形， ∴A1O⊥AB，∵CA＝CB，∴CO⊥AB， ∵CO∩A1O＝O，∴AB⊥平面COA1，∴AB⊥A1C． (2)由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB， 又∵平面ABC⊥平面ABB1A1，平面ABC∩平面ABB1A1＝AB，∴OC⊥平面ABB1A1，∴OC⊥OA1， 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中AB＝BC＝2AD，AS⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AS＝AB．求直线SC与底面ABCD的夹角θ的余弦值． (2014·天津理)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点． [解析]　解法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点， 得E(1,1,1)． 方法二：(1)证明：如图，取PD中点M，连接EM，AM. (3)解：如图，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H，因为PA⊥底面ABCD，故FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC， [总结反思]　(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的． (2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角． [总结反思]　在解题过程中，犯了两个错误：一个是没有弄清楚线面垂直的判定定理，错误地认为直线与平面内一条直线垂直就线面垂直；一个是混淆了线面角的定义，错误地把直线与平面法向量的夹角当作线面角． [正解]　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1. [总结反思]　这位同学在解题过程中，犯了两个错误，一个是解题步骤不严谨，一个是用法向量n1、n2求二面角的大小时〈n1，n2〉与二面角的关系是相等或互补，此题就是〈n1，n2〉的补角． 直线与平面的夹角 (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值． 向量法的综合应用 (1)