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猛虎试题–恩施市一中–平面向量的数量积–复习讲义
平面向量的数量积
【知识概述】
1.向量数量积的有关概念
设 是两个非零向量，数量 叫做的数量积(或内积)，记作 ，其中是 的夹角。叫做向量方向上(或 方向上)的投影。
规定：零向量与任一向量的数量积为0 。
2.向量的数量积的几何意义
数量积等于的长度与在 的方向上的投影的乘积。
3.向量数量积的性质
：
；
；
；
。
4.向量数量积的运算律
；
；
。
注意：对于不共线的向量 。
5.向量数量积的坐标表示、模、夹角
；
；
；
。
【学前诊断】
1．[难度] 易
已知，则的夹角为( )
A．． ． D．
.
3．[难度] 中
已知的夹角为 ，求：
（1）
（2）
【经典例题】
例1．已知是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )
（1）
（2）
（3）
（4）
A．．．D．
例2．已知,若与的夹角为45°,求实数t的值.
例3．设向量,满足，求的值.
例4．已知向量,满足,求的取值范围.
例5．已知A（2，2），B（4，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点，当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值.
已知满足，
求当最小时的夹角.
例7．已知，若的夹角为锐角，
求实数的取值范围.
【本课总结】
1. 两向量同向时，夹角为0(或0°)；而反向时，夹角为 ；两向量垂直时，夹角为90°，因此当两向量共线时，夹角为 ，反过来若两向量的夹角为 ，则两向量共线.
2. 解决与向量的模、数量积有关的取值范围的问题，一般用 求解.
3. 向量的数量积为一个数值，由定义可知，其值的正负取决于两向量夹角余弦值的符号，故由夹角是否为锐角可以确定其数量积的符号.利用这一结论，可判断三角形的形状.但要注意两个非零向量共线且同向时，其数量积也为正，而夹角为0°.类似地，可考虑两个向量夹角为钝角的情况，注意夹角为180°时，数量积也为负.
【活学活用】
1．
已知 ，若，则的夹角为( )
A．．．D．
已知，如果，则实数.
3. [难度] 中
已知非零向量 满足，求的夹角
1
数学·必修4
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