思易学教育寒假专题-平面向量.docVIP

年 级 高一 学 科 数学 版 本 人教新课标A版 课程标题 寒假专题——平面向量 编稿老师 王志国 一校 林卉 二校 黄楠 审核 王百玲 一、学习目标： 1. 平面向量的实际背景及基本概念通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示2. 向量的线性运算①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义③了解向量的线性运算性质及其几何意义3. 平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件平面向量的数量积①通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义②体会平面向量的数量积与向量投影的关系③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力 知识点一：平面向量的概念及运算 例1：设为单位向量，（1）若为平面内的某个向量，则=||·;（2）与平行，则=||·；（3）若与平行且||=1，则=。上述命题中，假命题个数是（ ）个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 思路分析：向量是既有大小又有方向的量，因此两方面都要考虑到。 解答过程：与||·模相同，但方向不一定相同，故（1）是假命题；若与平行，则与的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时=－||，故（2）、（3）也是假命题。综上所述，答案选D。 解题后的思考：向量的概念较多，且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。 例2：已知 （1）求； （2）当为何实数时，与共线， 共线时它们是同向还是反向？ 思路分析：本题主要要用到向量的坐标表示，向量的模，以及向量共线的条件等知识。 解答过程：（1）因为， 所以，则 （2）， 因为与共线，所以，即得。 此时，，则，即此时向量与方向相反。 解题后的思考：以上两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共线的判定及平面向量的模的计算方法。 例3：求证：起点相同的三个非零向量，，－的终点在同一条直线上 思路分析：先证明向量共线，再证明有公共点。 解答过程：证明：设起点为O＝，，＝－， 则2（－，－，，共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线，即向量，，3－的终点在同一直线上利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：证明向量平行；说明两个向量有公共点用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：证明向量平行；说明两向量无公共点|=1，||=2，=+，且⊥，则向量与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 思路分析：要求向量与的夹角，关键是求它们的数量积。 解答过程：设所求两向量的夹角为 即： 所以，故选C 解题后的思考：对于这个公式的变形的应用应做到熟练，解决向量的夹角问题时要借助于公式，另外向量垂直（平行）的充要条件必须掌握。 例5：已知。 思路分析：，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。 解答过程：设 则。 解题后的思考：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。 例6：已知，其中。 （1）求证：与互相垂直； （2）若与（）的长度相等，求。 思路分析：本题是向量和三角的综合题。（1）首先化简，再代入坐标计算。（2）利用向量长度相等转化成含的三角关系式，并分析的范围，求出的值。 解答过程：（1）因为 所以与互相垂直。 （2）， ， 所以， ， 因为， 所以， 有， 因为，故， 又因为， 所以。 解题后的思考：平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理，可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。 例7：用向量法证明：直径所对的圆周角是直角。 思路分析：对于文字叙述题首先要写出已知和求证，然后再证明。 解答过程： 已知：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：∠APB＝90°。 证明：连接OP，设向量，