平面向量复习学案〔教师〕.docVIP

第1课时 向量的概念与几何运算 1．向量的有关概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量． ⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律． ⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． 3．实数与向量的积 ⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下： ① | |＝ ． ② 当＞0时，的方向与的方向 ； 当＜0时，的方向与的方向 ； 当＝0时， ． ⑵ (μ)＝ ． (＋μ)＝ ． (＋)＝ ． ⑶ 共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． 4．⑴ 平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ． ⑵ 设、是一组基底，＝，＝，则与共线的充要条件是 ． 例1．已知△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点．设，，求． 变式训练1.如图所示，D是△ABC边AB上的中点，则向量等于（ ） A．－＋ B．－－ C．－ D．＋ 例2. 已知向量，，，其中、不共线，求实数、，使． 变式训练2：已知平行四边形ABCD的对角线相交于O点，点P为平面上任意一点，求证： 例3. 已知ABCD是一个梯形，AB、CD是梯形的两底边，且AB＝2CD，M、N分别是DC和AB的中点，若，，试用、表示和． 变式训练3：如图所示，OADB是以向量＝，＝为邻边的平行四边形，又＝，＝，试用、表示，，． 例4. 设，是两个不共线向量，若与起点相同，t∈R，t为何值时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上？ 变式训练4：已知，设，如果 ，那么为何值时，三点在一条直线上？ 1．认识向量的几何特性．对于向量问题一定要结合图形进行研究．向量方法可以解决几何中的证明． 2．注意与O的区别．零向量与任一向量平行． 3．注意平行向量与平行线段的区别．用向量方法证明AB∥CD，需证∥，且AB与CD不共线．要证A、B、C三点共线，则证∥即可． 4．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，特点：首尾相接首尾连；向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点． 第2课时 平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ． 2．向量的坐标表示与起点为 的向量是一一对应的关系． 3．平面向量的坐标运算： 若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则： ＋＝ －＝ λ＝ 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ． ，则 若，则 若=(x,y)，则=(x, y) 若，则 若，则 若，则 4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是 ． 例1.已知点A（2，3），B（－1，5），且＝，求点C的坐标． 变式训练1.若，，则= . 例2. 已知向量＝(cos，sin)，＝(cos，sin)，|－|＝，求cos(α－β)的值． 变式训练2.已知－2＝(－3，1)，2＋＝(－1，2)，求＋． 例3. 已知向量＝(1, 2)，＝(x, 1)，＝＋2，＝2－，且∥，求x． e1=a+2b=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)e2=2a-b=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)∵e1∥e2∴(2x+1)/(2-x)=4/34(2-x)=3(2x+1)8-4x=6x+310x=5x=1/2 变式训练3.设＝(ksinθ, 1)，＝(2－cosθ, 1) (0 θπ)，∥，求证：k≥． : k＝ ∴k－＝≥0∴k≥ 例4. 在平行四边形ABCD中，A(1，1)，＝(6，0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P． (1) 若＝(3，5)，求点C的坐标； (2