学案67、68：第2章《平面向量》复习课.docVIP

必修4平面向量（章节复习） 【课前导学】 一、知识结构： 二、知识梳理： （一）向量的概念与几何运算1．向量的有关概念 ⑴ 既有 又有 的量叫向量． 的向量叫零向量． 的向量，叫单位向量． ⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴⑵ 向量的减法法则：三角形法则：由 的终点指向 的终点。 3．实数与向量的积 ⑴ 实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向规定如下： ① | |＝ ． ② 当＞0时，的方向与的方向 ； 当＜0时，的方向与的方向 ； 当＝0时， ． ⑵ (μ)＝ ． (＋μ)＝ ． (＋)＝ ． ⑶ 共线定理：向量与非零向量共线且一个实数λ使得 ． 4．平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得 ． 平面向量的坐标运算 1．平面向量的坐标表示 分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作 ．并且||＝ ． 2．向量的坐标起点为 的向量，则 3．平面向量的坐标运算： 若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则： ＋＝ －＝ 　　λ＝ 已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝ ． 4．两个向量＝(x1、y1)和＝(x2、y2)共线的充要条件是 ．．设P1（x1、y1），P2（x2、y2），的中点坐标 。 （三）平面向量的数量积 1．两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作＝，＝，则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°) 叫做向量与的 ．当θ＝0°时，与 ；当θ＝180°时，与 ；如果与的夹角是90°，我们说与垂直，记作 ． 2．两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量 叫做与的数量积（或内积），记作·，即·＝ ．规定零向量与任一向量的数量积为0．若＝(x1, y1)，＝(x2, y2)，则·＝ ． 3．向量的数量积的几何意义： ||cosθ叫做向量在方向上的投影 (θ是向量与的夹角)． ·的几何意义是，数量·等于 ． 4．向量数量积的性质：设、都是非零向量，是单位向量，θ是与的夹角． ⑴ ·＝·＝ ⑵ ⊥ ⑶ 当与同向时，·＝ ；当与反向时，·＝ ． ⑷ cosθ＝ ．⑸ |·|≤ 5．向量数量积的运算律： ⑴ ·＝ ；⑵ (λ)·＝ ＝·(λ)⑶ (＋)·＝ 【预习】1. 若A（2，-1），B（-1，3），则的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对 化简下列各式：（1）= （2）－= （3）= +=__________ 3. △ABC中,= , = ,则等于 ( ) A. B. C. D. . 若||=1,| |=,()⊥则与的夹角为 ( ) A.300 B.450 C.600 D.750 一艘船从A点出发以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，则船实际航行的速度的大小和方向是 . 【课导学】如图，ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且 BN=BD，与 表示出， (2)求证：M、N、C三点共线． 、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2） （1）若||=2，且‖，求的坐标 （2）若||=，且+2与2-垂直，求与的夹角. 例3、已知点O（0，0），A（