人教B版高中数学选修2-2第2章2.3“数学归纳法”课件.pptVIP

1.我们在玩多米诺骨牌游戏时，只要任意相邻的两块骨牌之间的距离保持适中，即前一块骨牌倒下时能砸倒后一块，那么在推倒第一块骨牌后，会出现怎样的情形？ 2．什么叫归纳法？ 答案：1.在推倒第一块骨牌后，就会导致第二块骨牌倒下，而第二块倒下，又导致第三块倒下，以此类推，直到全部倒下． 2．由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法．根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分为：完全归纳法和不完全归纳法. 注意：(1)第一步是验证命题递推的基础，第二步是论证命题递推的依据，这两个步骤缺一不可． (2)用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n＝k＋1时为什么成立？n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明． (3)数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题，的证明，如与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题、探求数列的通项和前n项和等问题． 二、数学归纳法的应用 数学归纳法常用来解决与正整数有关的问题，具有广泛的应用． 1．证明等式 证明这类命题是“一凑一变”，突出“变”字，“凑”是指由n＝k＋1的左端凑出n＝k的左端，或由n＝k的左瑞凑出n＝k＋1的左端；“变”是指把拼凑的式子变为n＝k＋1的右端． 2．证明不等式 证明这类题的关键是“一凑一证”，常结合其他方法(如放缩法等)完成“一证”． [分析]　本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性． 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明几何问题 用数学归纳法证明数列问题 第二章　2.3 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 ·选修2-2　 第二章　推理与证明 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·人教B版 · 数学 ·选修2-2　 推理与证明 第二章 2.3　数学归纳法 第二章 课堂典例探究 2 课 时 作 业 3 课前自主预习 1 课前自主预习 课堂典例探究 用数学归纳法证明等式 * * 第二章　2.3 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 ·选修2-2　 第二章　推理与证明 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 ·人教B版 · 数学 ·选修2-2　 从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马．第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马．三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！ 这第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？ 一、数学归纳法 1．定义： 一个与自然数相关的命题，如果(1)当n取第一个值n0时命题成立；(2)在假设n＝k(kN＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。 2．证题时的具体步骤 第一步，证明当n取第一个值n0(例如n0＝1或2时结论正确)； 第二步，假设当n＝k(kN＋且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确． 在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都正确， 用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，kZ，nN*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为(　　) A.B.＋cosα C.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos3α＋cos5α [答案]　B [解析]　令n＝1，左式＝＋cosα.故选B. 3．证明整除问题 证明这类问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的． 4．证明几何问题 此类问题证明的关键是要弄清楚当由n＝k推导n＝k＋1的情形时，几何图形的变化规律． 5．证明数列问题 数列与数学归纳法有着非常密切的关系，我们知道，数列是定义在N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一样的，并且数列