全国高中数学联赛新题型仿真试题1.docVIP

数学竞赛模拟试卷（1） 一、选择题（每题分共3分） }(n≥1)满足=-，且=1,若数列的前2005项之和为2006，则前2006项的和等于[ ] A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 3.有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是，又侧棱与底面所成的角都是，则这个棱锥的体积是[ ] A.1 B. C. D. 4.若(n∈N+), 则被3除的余数是[ ] A.0 B.1 C.2 D.不能确定 5.已知，且，则的最小值是　　[ ]　　 A、　　B、　　C、　　D、 6.在边长为12的正三角形中有n个点，用一个半径为的圆形硬币总可以盖住其中的2个点，则n的最小值是[ ] A.17 B.16 C.11 D.10 二、填空题（每题分共分）的末三位数是_______ 9.集合A中的元素均为正整数，具有性质：若，则12-， 这样的集合共有 个. 10.抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=.在抛物线上是否存在一点C，使△ABC为正三角形 ，若存在，C点的坐标是 . 11.在数列中，＝2，，设为数列的前n项和，则 　　的值为　　　　　 12. 设函数，其中函数在上是单调递减函数； 则的取值范围是_____________________. 三、解答题（每题分共分）和曲线上的点…、。 若、、…、成等差数列且公差d 0, (1). 试将d表示为n的函数关系式. (2). 若,是否存在满足条件的.若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由. 14.设a,b,c∈(1,+∞)，证明：2(++)≥. 15.定义下列操作规则： 规则A：相邻两数a、b，顺序颠倒为b、a，称为一次“变换”。（如一行数1、2、3、4要变为3、1、2、4，可以这样操作：。） 规则B：相邻三数a、b、c，顺序颠倒为c、b、a，称为一次“变换”。 规则C：相邻四数a、b、c、d，顺序颠倒为d、c、b、a，称为一次“变换”。 现按照顺序排列着1、2、3、…、2004、2005，目标是：经过若干次“变换”，将这一行数变为2005、1、2、…、2003、2004。问：（1）只用规则A操作，目标能否实现？ （2）只用规则B操作，目标能否实现？ （3）只用规则C操作，目标能否实现？ 参考答案 1.解：末位是0的数共有个-，末位是2或4的数共有2(-)个. 由加法原理，共有-+2(-)=252个. 2.解：=-=(-)-=-, 因此，对n≥1，+++++=0， 从而数列中任意连续6项之和均为0. 2005=334×6+1,2006=334×6+2,所以前2005项之和为，即=2006， 于是前2006项的和等于+=2007.所以选(C). 3.解：这个体积是底边和高均为1的正六棱锥的体积的一半，因此 4.解：=[]=[] ==-21(mod3).所以选(B). 5.解：由已知得，所以 　　＝ 　　　　当且仅当，即时，取等号 　　　故当时，有最小值 所以选C 6.解：如图(1)，作一个分割，在每个交叉点上置一个点，这时任意两点间距离不小于4，42(硬币直径)，故这时硬币不能盖住其中的两个点，说明n=10是不够的. 如图(2)，另作一个分割，得到16个全个等的边长为3的正三角形，其中“向上”的三角形共有10个，它们的外接圆的半径正好是. 借助图(3)可以证明：只要图(2)中的10个“向上”的三角形都用硬币覆盖，则三角形ABC完全被覆盖，这时若在三角形ABC内置11个点，则必有一个硬币可以至少盖住其中的2个点. 故n的最小值是11，所以选(C). 6. 解： = 即。 7.解：tanA=-tan(B+C),tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanA+tanC=2tanB, 于是有3tanB=tanAtanBtanC,因为B为锐角，所以tanB≠0,所以tanAtanC=3, 令cos2C=x,则=，所以=== 所以cos(B+C-A)=cos(-2A)=-cos2A=1-2=1-=, 即f(x)=. 8.解：(10i+1)(10i+3)(10i+7)(10i+9)=[100+100i+9][100+100i+21] =10000+3000i(i+1)+189189(mod1000). 所以=189×100900(mod1000). 所以末三位是900 9.解：从集合A的性质可得，A必然是六个集合{