全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试卷答案.docVIP

全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题班级 姓名 一、选择题本题满分36分，每小题6分1．函数的图像按向量平移后得到的图像的解析式为：， 那么的解析式为 A、 B、 C、 D、 平移就是向右平移个单位且向上平移2个单位， 由结果到条件可知：，即故选．2．如果二次方程的正根小于3，那么这样的二次方程有 A、5个 B、6个 C、7个 D、8个 由知方程的根为一正一负设，则即由于，所以或于是共有7组符合题意．故选． 3．设，那么的最小值是 A、2 B、3 C、4 D、5 由可知； 所以，故选． 4．设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面 A、不存在 B、只有1个 C、恰有4个 D、有无数多个 设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为、直线、确定了一个平面作与平行的平面与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形而这样的平面有无数多个．故选． 5．设数列：，则被64除的余数为 A、0 B、2 C、16 D、48 ，得， 于是可知数列模64周期为，，，又2005被4除余1故选． 6．一条走廊宽2 m，长8 m，用6种颜色的11的整块地砖来铺设（每块地砖都是单色的，每种颜色的地砖都足够多），要求相邻的两块地砖颜色不同，那么所有的不同拼色方法有 A、个 B、个 C、个 D、个解：铺第一列两块地砖有种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了、两色如图，那么，第二列的上格不能铺色若铺色，则有种铺法；若不铺色，则有种第二列上共有种铺法同理，若前一列铺好，则其后一列都有种铺法因此，共有种铺法故选． 二、填空题本题满分36分，每小题6分7．设向量绕点逆时针旋转得向量，且，则向量 设则所以即解得；因此，． 8．设无穷数列的各项都是正数，是它的前项之和，对于任意正整数，与2的等差中项等于与2的等比中项，则该数列的通项公式为 由题意知，即.…①； 由得，从而又由①式得，…②； 于是有， 整理得；又因故所以数列是以为首项为公差的等差数列其通项公式为，即故填．9．函数的最小值是 令，则当时，，得； 当时，，得取故填．10．在长方体中，，点、、分别是棱、与的中点，那么四面体的体积是 在的延长线上取一点，使易证，平面，而，到平面的距离为故填． 11．由三个数字、、组成的位数中，、、都至少出现次，这样的位数共有 在位数中若只出现次，有个； 若只出现次，有个；若只出现次，有个则这样的五位数共有个故填个12．已知平面上两个点集， ，若，则的取值范围是解：由题意知是以原点为焦点、直线为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集，是以为中心的正方形及其内部的点集如图考察时，的取值范围： 令，代入方程：， 得，解出得当时，……③； 令，代入方程，得解得； 当时，………④； 因此，综合③与④可知，当，即时，故填三、解答题第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分13．已知点是的中线上的一点，直线交边于点，且是的外接圆的切线，设，试求用表示． 证明：在中，由Menelaus定理得； 因为，所以………6分 由，知∽，则所以，，即．……2分 因此，又，故．………………15分 14．求所有使得下列命题成立的正整数：对于任意实数，当时， 总有其中． 解：当时，由，得所以时命题成立…………………………………………………………………3分 当时，由，得： 所以时命题成立…………………………………………………………………6分 当时，由，得： 所以时命题成立…………………………………………………………………9分 当时，令，，,则但是，，故对于命题不成立综上可知，使命题成立的自然数是．.…………………………………15分 15．设椭圆的方程为 ，线段是过左焦点且不与轴垂直的焦点弦；若在左准线上存在点，使为正三角形，求椭圆的离心率的取值范围，并用表示直线的斜率． 解：如图，设线段的中点为；过点分别作准线的垂线，垂足分别为 则；………6分 假设存在点，则，且，即， 所以，．………………………………………………………………………………12分 于是，，故； 若如图，则……18分 当时，过点作斜率为的焦点弦，它的中垂线交左准线于， 由上述运算知，故为正三角形………………………………20分 若，则由对称性得…………………………………………22分 又，所以，椭圆的离心率的取值范围是， 直线的斜率为．………………………………………………………………24分 16．（1）若个棱长是正整数的正方体的体积之和为，求的最小值并说明理由． （2）若个棱长是正整数的正方体的