专题平面向量数量积.docVIP

平面向量的数量积 【知识梳理】 1．向量数量积的定义 已知两个非零向量、，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做与的数量积，记作·，规定0向量与任一向量的数量积为0. 2．·的几何意义 (1)投影：设θ是向量与的夹角，则 叫做在方向上的投影， 叫做在方向上的投影． (2) ·的几何意义：·等于的长度 与在方向上的投影 的乘积． 3．向量数量积的性质：、是两个非零向量，它们的夹角为θ. (1)当与同向时， ；当与反向时， ；其它情况：·≠||||； 特别地， . (2) ·＝0? . (3)cosθ＝ . 4．向量数量积的运算律 (1) ·＝ . (2)(λ)·＝ ＝ ．(λ∈R) (3)( ＋)·＝ . 5．向量数量积的坐标表示 (1)若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则·＝ . (2)若＝(x，y)，则·＝2＝||2＝ ， ||＝ . (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |＝ ，此式为平面上两点间的距离公式． (4)若＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则⊥? . (5) 、是两个非零向量，它们的夹角为θ，＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，则cosθ＝ 1. （教材改编题）边长为2的等边三角形ABC中，·的值为 . 2. （教材改编题）设向量=(4,5)，=(-1,0),则向量+与-的夹角的余弦值为 . 3. （2011·嘉兴模拟）向量的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为 . 4. 如图，在平行四边形ABCD中，=(1,2)，=(-3,2),则·= . 5. (教材改编题)已知=(1,6), =(2,k),若∥,k= ;若⊥，则k= . 【互动探究】【例1】已知||=4,| |=8, 与的夹角是120°. (1)计算|+|,|4-2|; (2)k为何值时，(+2)⊥(k-)? 【例2】（2010·广东改编）已知向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，x). (1)若|2+-|=1,求实数x的值； (2)若(8-)⊥，求实数x的值. 【例3】(2011·北京模拟)已知非零向量,满足||=2||,且⊥(+),求向量,的夹角〈,〉. 【当堂检测】 1．已知||＝3，||＝4，且与的夹角为θ＝150°，则·= ，(－)2= ，|＋|= . 2．已知向量与的夹角为120°，||＝1，||＝3，则|5－|＝________. 3．(2008·湖北)设＝(1，－2)，＝(－3,4)，＝(3,2)，则(＋2)·＝(　　) A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11 4. 2010·河北衡水中学仿真试卷）已知向量=(1,1), =(2,n)，若|+|=·,则n为 ( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 5.（2011南京）已知向量=(1,2)，=(2,-3). 若向量满足(+)∥，⊥(+)，则= ( ) A. (,) B. (-,) C. (,) D. (-,-) 6．(2008·海宁)已知平面向量＝(1，－3)，＝(4，－2)，λ＋与垂直，则λ是(　　) A．－1 B．1C．－2 D．2 .（2010·湖南） 若非零向量，满足||=||，(2+)·=0,则与的夹角为( ) A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 8．(2009·重庆，4)已知||＝1，||＝6，·(－)＝2，则向量与的夹角是(　　) A. B. C. D. 9. (2009·全国Ⅱ，6)已知向量＝(2,1)，·＝10，|＋|＝5，则||＝(　　) A. B. C．5 D．25