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专题12向量和圆锥曲线
专题12 向量与圆锥曲线
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )
( A ) ( B ) ( C ) ( D )
2.已知双曲线的焦点为F1、F2,点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为(C)
(A) (B) (C) (D)
3.设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若且,则点P的轨迹方程是D )
A. B.
C. D.
4.已知两点M(-2,0)、N(2,0),点P为坐标平面内的动点,满足,则动点P(x,y)的轨迹方程为B )
(A) (B) (C) (D)
5.若曲线y2=|x|+1与直线y=kx+b没有公共点,则k、b分别应满足的条件是.
6.已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果,且曲线E上存在点C,使,求m的值和?ABC的面积S。
【专家解答】由双曲线的定义可知,曲线是以为焦点的双曲线的左支,
且,易知, 故曲线的方程为
设,由方程组
消去,得
又已知直线与双曲线左支交于两点,有
解得
又∵
依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设,由已知,得
∴,
又,
∴点将点的坐标代入曲线的方程,得
得,但当时,所得的点在双曲线的右支上,不合题意
∴,点的坐标为到的距离为
∴的面积【范例1】设双曲线上两点A、B,AB中点M(1,2)
(1)求直线AB方程;
(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点,那么A、B、C、D
是否共圆,为什么?
解析:(1)法一:显然AB斜率存在。 设AB:y-2=k(x-1)
由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△0时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
∴ k=1,满足△0 ∴ 直线AB:y=x+1
法二:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2 ∴ ∴
∴ AB:y=x+1 代入得△0.
(2)设A、B、C、D共圆于⊙M?,因AB为弦,故M?在AB垂直平分线即CD上;又CD为弦,故圆心M?为CD中点。因此只需证CD中点M满足|M?A|=|M?B|=|M?C|=|M?D|
由得A(-1,0),B(3,4)又CD方程:y=-x+3
由得x2+6x-11=0设Cx3,y3),Dx4,y4),CD中点M? x0,y0)
则∴ M?(-3,6)
∴ |M?C|=|M?D|=|CD|=又|M?A|=|M?B|=∴ |M?A|=|M?B|=|M?C|=|M?D|
∴ A、B、C、D在以CD中点,M?(-3,6)为圆心,为半径的圆上
【点晴】第(1)小题中法一为韦达定理法,法二称为点差法,当涉及到弦的中点时,常用这两种途径处理。在利用点差法时,必须检验条件△0是否成立;第(2)小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在,然后求出该结论,并检验是否满足所有条件,本题应着重分析圆的几何性质,以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰,在复习中必须引起足够重视。
【文】在平面直角坐标系O中,直线与抛物线y2=2x相交于A、B两点.
(1)求证:“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
[解](1)设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于点A(3,)、B(3,-). ∴=3;
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为,其中,
由得
又 ∵ ,
∴,
综上所述,命题“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(2)逆命题是:设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,直线AB的方程为:,而T(3,0)不在直线AB上;
说明:由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3,可得y1y2=-6,或y1y2=2,如果y1y2=-6,可证得直线AB过点(3,0);如果y1y2=2,可证得直线AB过点(-1,0),而不过点(3,0).
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