〔同步辅导〕2015高中数学“从力做功到向量数量积”导学案北师大版必修4.docVIP

第6课时　从力做功到向量的数量积 1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义. 2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 一只飞着的天鹅拉着地上的小车行驶在一条笔直的马路上,如图所示,当小车前进了s时,你能算出天鹅对小车所做的功吗? 问题1:　　　　　　(其中θ=a,b,称为向量a、b的夹角)叫作向量a、b的数量积(或　　　　),记作a·b,即　　　　　　　.? 把|a|cos θ叫作向量a在b方向上的　　　　.? 如图,=a,=b,过点A作AA1垂直于直线OB,垂足为A1,则OA1=|a|cos θ. 投影是一个数量,不是向量;当θ为锐角时,它是　　　　值;当θ为钝角时,它是　　　　;当θ=90°时,它是　　　;当θ=0°时,它是　　　　;当θ=180°时,它是　　　　　.? 问题2:向量与物理学中一些矢量的关系 向量是既有　　　　又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点(即与作用点　　　　);力也是既有　　　　又有　　　　的量,且作用于　　　　作用点(即力与作用点　　　　).用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上.? 物理学中,速度、加速度与位移的合成与分解,实质上是向量的加、减法运算,而运动的　　　　也用到向量的　　　　;力的做功是力在物体前进方向上的分力与物体　　　　的乘积,它的实质是　　　　　　　　.? (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角,即　　　　　　　　　,功是一个　　　　,它可以是　　　、负数或0.? (2)在解决问题时要注意数形结合. 问题3:向量数量积的运算律 已知向量a、b、c和实数λ,则 (1)a·b=　　　　　(交换律);? (2)(λa)·b=　　　　　　=　　　　　　　(对实数的结合律);? (3)(a+b)·c=　　　　　　　(分配律).? 问题4:向量数量积的性质: (1)如果e是单位向量,则a·e=e·a=　　　　　　　;? (2)非零向量a,b,a⊥b?　　　　　　　　; (3)a·a=　　　　　或|a|=　　　　　　　　;? (4)cosa,b=　　　　　　　　　　;? (5)|a·b|≤|a||b|. 1.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90°,且c=2a+3b,d=ka-4b,若c⊥d,则实数k的值为(　　). A.6　　　　 B.-6　　　　 C.3　　　　 D.-3 2.已知点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为(　　). A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.已知向量a、b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是　　　　.? 4.设x、y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,求|a+b|. 向量数量积的概念 已知a、b、c是非零向量,有下列三个说法: (1)若|b|=|c|,则|a·b|=|a·c|; (2)(a·b)|c|=|a|(b·c); (3)若|a·b|=|a||b|,则a∥b. 其中正确的个数为(　　). A.0　　　　 B.1　　　　 C.2　　　　 D.3 向量的夹角与模的运算 已知|a|=3,|b|=4,且a与b的夹角为120°,求: (1)(a-b)2;(2)|a+b|. 向量数量积在物理学中的运用 一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度. 已知|a|=3,|b|=2,若a·b=-3,则a与b夹角的大小为　　　　.? 已知|a|=3,|b|=4,|a+b|=.求: (1)a·b; (2)(2a-b)·(3a+b). 一辆汽车在平直公路上向西行驶,车上装着风速计和风向标,测得风向为东偏南30°,风速为4 m/s,这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小. 1.某人骑自行车的静风速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度的大小为(　　). A.|v1-v2|　　　 B.|v1+v2| C.|v1|+|v2| D. 2.用力F推动一物体水平运动,运动的位移为s,设F与水平面角为θ,则对物体所做的功为(　　). A.|F|·s B.Fcos θ·s C.Fsin θ·s D.|F||s|cos θ 3.作用于原点的两个力F1(1,1),F2(2,3),为使它们平衡,需要加力F3=　　　　.? 4.一个