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【步步高】2014届高三数学大一轮复习12.5二项分布与其应用教案理新人教A版
§12.5 二项分布及其应用2014高考会这样考 1.考查条件概率和两个事件相互独立的概念;2.考查n次独立重复试验及二项分布的概念;3.考查利用二项分布解决一些简单的实际问题.
复习备考要这样做 1.利用互斥事件、事件的独立性对事件进行分解是计算复杂事件概率的关键,复习时要注意体会总结;2.掌握二项分布的含义,会从实际问题中抽象出二项分布模型.
1. 条件概率及其性质
(1)对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率叫做条件概率,用符号P(B|A)来表示,其公式为P(B|A)=(P(A)0).
在古典概型中,若用n(A)表示事件A中基本事件的个数,则P(B|A)=.
(2)条件概率具有的性质:
①0≤P(B|A)≤1;
②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).
2. 相互独立事件
(1)对于事件A、B,若A的发生与B的发生互不影响,则称A、B是相互独立事件.
(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),
P(AB)=P(B|A)P(A)=P(A)P(B).
(3)若A与B相互独立,则A与,与B,与也都相互独立.
(4)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立.
3. 二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有__两__种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的.
(2)在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X~B(n,p),并称p为成功概率.
[难点正本 疑点清源]
1. “互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系
(1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系.
(2)“互斥”强调不可能同时发生,“相互独立”强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.
(3)“互斥”的两个事件可以独立,“独立”的两个事件也可以互斥.
2. 计算条件概率有两种方法
(1)利用定义P(B|A)=;
(2)若n(C)表示试验中事件C包含的基本事件的个数,则P(B|A)=.
1. 如图所示的电路,有a,b,c三个开关,每个开关开或关的概率都是,且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为_______________.
答案
解析 理解事件之间的关系,设“a闭合”为事件A,“b闭合”为事件B,“c闭合”为事件C,则灯亮应为事件AC,且A,C,之间彼此独立,且P(A)=P()=P(C)=.
所以P(AC)=P(A)P()P(C)=.
2. 某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________.
答案 0.128
解析 依题意可知,该选手的第二个问题必答错,第三、四个问题必答对,故该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率P=1×0.2×0.8×0.8=0.128.
3. (2012·课标全国)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________.
———
答案
解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A,B,C,显然P(A)=P(B)=P(C)=,
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为(A+B+AB)C,
∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率
P=×=.
4. 把一枚硬币连续抛两次,记“第一次出现正面”为事件A,“第二次出现正面”为事件B,则P(B|A)等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 P(B|A)===.
5. 如果X~B,则使P(X=k)取最大值的k值为( )
A.3 B.4 C.5 D.3或4
答案 D
解析 ∵P(X=3)=C312,
P(X=4)=C4·11,
P(X=5)=C510,
从而易知P(X=3)=P(X=4)P(X=5).
题型一 条件概率
例1 在100件产品中有95件合格品,5件不合格品.现从中不放回地取两次,每次任取一件,则在第一次取到不合格品后,第二次再次取到不合格品的概率为________.
思维启迪:直接利用条件概率公式进行计算或利用古典概型.
答案
解析 方法一 设A={第一次取到不合格品},
B
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